Chapitre 4: les paramètres de dispersion

         Nous avons vu que les valeurs centrales sont nécessaires pour caractériser une série statistique, cependant elles ne sont pas en général suffisantes pour donner une conclusion sur la répartition d’un caractère, ainsi par exemple on peut rencontrer deux populations ayant même valeur centrale mais elles n’ont pas une même dispersion autour du centre.

         Soit par exemple les notes de deux étudiants dans cinq matières :

	L’étudiant N° 1	L’étudiant N° 2
Philosophie	6	2
Histoire	8	6
Mathématiques	10	10
Anglais	12	14
Français	14	18

        

Les deux étudiants ont même moyenne et même médiane : 10, mais nous remarquons que leurs notes ne sont pas réparties de la même façon autour de la valeur central. On dit donc que  les deux séries n’ont pas la même répartition, et plus précisément la série 2 (notes de l’étudiant N° 2) est plus dispersée que la série 1 (note de l’étudiant N° 1).

1- L’étendue de la série :

L’étendue, appelée aussi amplitude ou intervalle maximale d’une série est égale à la différence des valeurs extrêmes de la série. Elle est notée E; Ainsi dans l’exemple précédent des notes des deux étudiants N°1 et N°2 la série {6, 8, 10, 12, 14} a pour étendue E = 14 – 6 = 8. Et la série {2, 6, 10, 14, 18} a pour étendue E = 18 – 2 = 16.

2- Les quantiles :

Définition :

         On appelle quantile d’ordre a%, on dit aussi fractiles, et qu’on note Q_a, la valeur x_i du caractère telle que a% des valeurs observées soient inférieures strictement à c_i.

Autrement dit un quantile d’ordre n est une série ayant n groupes d’effectifs égaux. Ainsi la médiane est un quantile d’ordre 2.

                    

         Les quantiles les plus fréquemment utilisées dans la statistique descriptive sont :

-La médiane Me : est le quantile d’ordre 50%. Elle partage la série des valeurs observées en deux séries de même taille.

-Les quartiles, c’est-à-dire les quantiles d’ordre 4, notée Q₁, Q₂, Q₃, elle partage la série en 4 séries de même taille :

25% des observations sont inférieures au 1^er quartile Q₂₅ :

50% des observations sont inférieures au 2^ème quartile Q₅₀ :

75% des observations sont inférieures au 3^ème quartile Q₇₅ :

-Les déciles ; ce sont les quartiles d’ordre 10, ils partagent l’effectif total en dix groupes égaux. Il y en a neuf déciles notés D₁, D₂, D₃……..D₉.

-Les centiles ; ce sont les quartiles d’ordre 1, ils partagent l’effectif total en quatre-vingt-dix groupes égaux. Elles sont notées C₁, C₂, C₃……..C₉₉.

3-Les intervalles interquantiles :

La différence Q₇₅ – Q₂₅ s’appelle écart interquartile.

         L’intervalle interdécile noté I_D ou I.Id est la différence entre Q₉₀ et Q₁₀, et on a :

I_D = Q₉₀ – Q₁₀, cet intervalle contient 80% des observations.

         La différence Q₉₀ – Q₁₀ s’appelle écart interdécile.

         L’intervalle interdécile noté I_C ou I.I_C est la différence entre Q₉₉ et Q₁, et on a :

I_C = Q₉₉ – Q₁, cet intervalle contient 98% des observations.

La différence Q₉₉ – Q₁ s’appelle écart intercentile.

Tous ces écarts permettent de mesurer la dispersion de la série autour de la médiane.

Exemple :

         On donne la distribution des revenus annuels des 460 cadres d’un groupe bancaire

Classe de revenus (en dirhams)	Effectifs
de   50 000 à moins de    70 000 de   70 000 à moins de    80 000 de   80 000 à moins de    90 000 de   90 000 à moins de  100 000 de 100 000 à moins de  105 000 de 105 000 à moins de  110 000 de 110 000 à moins de  120 000 de 120 000 à moins de  130 000 de 130 000 à moins de  140 000 de 140 000 à moins de  160 000 de 160 000 à moins de  190 000	24 32 51 70 47 41 70 58 40 24 3

Déterminer l’étendre de la série, et les intervalles interquartile et interdécile.

En effet

Classe de revenus (en milliers de dirhams)	Effectifs	Effectifs cumulés croissants ‘ECC’
[ 50 , 70 [ [ 70 , 80 [ [ 80 , 90 [ [ 90 , 100 [ [ 100 , 105 [ [ 105 , 110 [ [ 110 , 120 [ [ 120 , 130 [ [ 130 , 140 [ [ 140 , 160 [ [160 , 190 [	24 32 51 70 47 41 70 58 40 24 3	24 56 107 177 224 265 335 393 433 457 460

L’étendue de la série est E = 190 – 50 = 140 milliers de dirhams.

Le quartile Q1 correspond au  caractère du 460/4 = 115ième individu. Il appartient à la classe 90 – 100 :=90 + 8 x   10/70      = 91,14 milliers de dirhams. Le quartile Q3 correspond au caractère du (3/4) x 460 = 345ième individu. Il appartient à la classe 110 – 120 := 120 + 10 x  10/58       = 121,72 milliers de dirhams. L’intervalle interquartile est  IQ = Q75 – Q25 = 121,72 – 95,6 = 26,12.          Soit 26 120 DH.          Le décile D1 correspond au caractère du 460/10 = 46ième individu. Il appartient à la classe 70 – 80 :  70 +10 X  22/32=76,875 De même Le décile D9 correspond au caractère du 9 x 460/10 = 414ième individu. Il appartient à la classe 70 – 80 :130 + 10 X 21/40=135,525 L’intervalle interdécile est Id = D9 – D1 = 135,525 – 76,975 = 58,55 Soit 58 550 DH. 4- L’écart absolu moyen : 4-1- Ecart absolu moyen par rapport à la moyenne : L’écart absolu moyen par rapport à la moyenne noté ec, encore appelé écart arithmétique, est la moyenne arithmétique des valeurs absolues des écarts de tous les termes de la série à leur moyenne arithmétique Remarquons que cet écart absolu moyen est nul si les observations sont égales. 4-2- Ecart absolu moyen par rapport à la médiane :          L’écart absolu moyen par rapport à la médiane noté eMe, est la moyenne arithmétique des valeurs absolues des écarts de tous les termes de la série à leur médiane. Exemple :          On considère la distribution suivante : Classes [15,25[ [25,35[ [35,45[ [45,55[ [55,65[ [65,75[ [75,85[ Effectifs 9 15 22 29 17 6 2 a) calculer l’écart absolu moyen par rapport à la moyenne. b) calculer l’écart absolu moyen par rapport à la médiane. En effet, Classes xi ni nixi ci - c ni  ci - c Fi(%)   ci - Me ni  ci - Me [15,25[ [25,35[ [35,45[ [45,55[ [55,65[ [65,75[ [75,85[ 20 30 40 50 60 70 80 9 15 22 29 17 6 2   180   450   880 1 450 1 020   420   160 25,6 15,6   5,6   4,4 14,4 24,4 34,4   230,4   234,0   123,2   127,6   244,8   146,4     68,8   9  24  46  75  92  98 100 26,38 16,38   6,38   3,62 13,62 23,62 33,62   237,42   245,70   140,36   104,98   231,54   141,72     67,24 å 100 4 560 1 175,2 1 168,96 å/n 45,60 1 175,2 1       168,96  a) X= 45,6   eX= 11,75 b) Me = 45 + 10.(50 – 46)/29 » 46,38 et eMe  » 11,69. 5- Variance et écart-type          Les paramètres de dispersion sont des nombres qui mesurent la dispersion des valeurs autour d’un paramètre de position (c, Me, …). Ils s’expriment dans la même unité que les observations et permettent de comparer des séries statistiques de même nature. 5-1- Variance : Variance d’une série non pondérée 5-2- Ecart- type :          On appelle écart-type la racine carrée de la variance. On note Ecart-type d’une série pondérée          Le calcul de l’écart-type pour les séries pondérées n’est pas fondamentalement différent de celui effectué précédemment : les écarts à la moyenne doivent être comptés autant de fois qu’ils apparaissent dans la série.          Si la série est à caractère continu, comme pour le calcul de moyenne, on prend pour valeur du caractère le centre de chaque classe. 6- Coefficient de variation :          Pour faciliter les comparaisons entre séries, on utilise une mesure de dispersion relative appelée coefficient de variation.          Le coefficient de variation noté Cv est un nombre sans dimension et indépendant des unités choisies. On peut le considérer comme un indice de dispersion « absolu ». Le coefficient de variation est le rapport de l’écart-type à la moyenne arithmétique c :            Cv=             s /  c