Mathématiques financièresTCEII

Exercice 1 :

         Un particulier emprunte une somme de 180 000 dh et s'engage à verser, pendant 4 ans, à la fin de chaque année de l’emprunt l’intérêt de la dette.

Travail à faire :

         Sachant que l’amortissement se fait en deux temps, une moitié à a fin de la 2^ème année et l’autre moitié à la fin de la 4^ème année, construire le tableau d’amortissement de cet emprunt. Taux : 11 %.

Exercice 2 :

Un emprunt de 215 000 dh est remboursable en 5 annuités la 1^ère étant payable un an après la datte du contrat.

Travail à faire :

         Sachant que l’amortissement augmente chaque année de 10 000 dh, construire le tableau d’amortissement de l’emprunt considéré. Taux : 10,5 %.

Exercice 3 :

Un emprunt de 134 800 dh est remboursable en 80 mensualités constantes, la 1^ère étant payable un mois après la datte du contrat. On donne pour cet emprunt la 40^ème ligne du tableau d’amortissement est :

Période	CDP	I	Amortis	Mensualité
40	93 070,00	1 116,84	…………	2 786,84

Travail à faire :

1)    Sachant que l’amortissement augmente chaque mois de 30 dh, établir les lignes n°41, 42 et 43 du tableau d’amortissement.

2)    Quelle aurait été la ligne n° 40 si les mensualités étaient constantes ?

Solution :

Exercice 1 :

         Les deux premières années l’emprunteur versera à la fin de chaque année 19 800 dh au titre d’intérêts (180 000 x 0,11 = 19 800). Pour les deux dernières années l’intérêt annuel n’est plus que de 9 900 dh. en effet, juste après le versement du 2 ème terme, la dette initiale est réduite de moitié.

         D’où le tableau d’amortissement :

Période	CDP	I	Amortis	Annuité	CFP
1	180 000	19 800	0	19 800	180 000
2	180 000	19 800	90 000	109 800	90 000
3	90 000	9 900	0	9 900	90 000
4	90 000	9 900	90 000	99 900	0

Exercice 2 :

         Il convient d’abord de calculer le 1^er amortissement :

         Soit X ce 1 er amortissement : M₁ = X

                                                       ₅

                            On sait que :   S M_p = 214 000

                                                              ^P=1

        

Ou encore : X + (X + 10 000) + (X + 20 000) + … + (X + 40 000) = 215 000

         Ce qui donne : 5 X + 100 000 = 215 000

         D’où : X = 23 000

Remarque :

         Ici on peut utiliser la formule donnant la somme des n premiers termes d’une progression arithmétique de premier terme U₁ et de raison r :

         S_n = U₁ + U₂ + … + U_n = n U₁ + n (n - 1) r

                                                              2

         avec S₅ = 215 000 et r = 10 000 on trouve :

                                     u₁ = 23 000

Le tableau d’amortissement se présente comme suit :

Période	CDP	I	Amort	ANN	CFP
1 2 3 4 5	215 000,00 192 000,00 159 000,00 116 000,00 63 000,00	22 575,00 20 160,00 16 695,00 12 180,00 6 615,00	23 000,00 33 000,00 43 000,00 53 000,00 63 000,00	45 757,00 53 160,00 56 695,00 65 180,00 69 615,00	192 000,00 159 000,00 116 000,00 63 000,00 0

Exercice 3 :

a) Le taux d’intérêt s’écrit :

                            i = 1 116,84  = 0,12   soit 1,2 % par mois.

                                 93 070

         Le 40^ème amortissement se calcule aisément :

                           

                            M₄₀ = 2 786,84 – 1 116,84 = 1 670 dh

         Comme on connaît la loi des amortissements (progression arithmétique de raison r = 30) la construction des lignes demandées du tableau d’amortissement ne semble pas poser de problèmes particuliers.

Période	CDP	I	Amortis	Mensualité	CFP
40 41 42 43	93 070,00 91 400,00 89 700,00 87 970,00	1 116,84 1 096,80 1 076,40 1 055,64	1 670,00 1 700,00 1 730,00 1 760,00	2 786,84 2 796,80 2 806,40 2 815,64	91 400,00 89 700,00 87 970,00 84 420,00

b) La mensualité constante s’écrit :

                           

                            a = 134 800     0,012       = 2 630,62 dh

                                             1 – 1,012^-80

         La dette restante juste après le paiement de la 39^ème mensualité peut être calculée de 3 manières :

                            DV₃₉ = 134 800  1,012⁸⁰ – 1,12³⁹  = 84 794,52 dh

                                                        1,012⁸⁰ – 1

DV₃₉ = 134 800 x 1,012³⁹ – 2 630,62  1,012³⁹ – 1  = 84 794,52 dh

                                                                                      1,012

                            DV₃₉ = 2 630,62  1 - 1,012^-41   = 84 794,52 dh

                                                        1,012

Remarque :

         Pour les deux dernières formules on a tenu compte, au niveau de la mensualité, de tous les chiffres après la virgule.

        

         En multipliant DV₃₉ par le taux on trouve l’intérêt, que l’on retranche de la mensualité pour trouver l’amortissement :

Période	CDP	I	Amortis	Mensualité	CFP
40	84 794,52	1 017,53	1 613,09	2 630,62	83 181,43

Remarque :

         Cette ligne peut être établie autrement :

                   M₄₀ = M₁ (1 + i)³⁹ = 134 800      0,012     x  1,012³⁹ = 1 613,08

                                                             1,012⁸⁰ – 1

Par soustraction on obtient l’intérêt puis le capital en début de période.