Chapitre: Intérêts composés

I- Principe :        

Pour les opérations financières à long terme (se prolongeant sur plusieurs années), on peut considérer, à la fin de chaque année, l’intérêt simple produit par un capital prêté ou placé, comme un nouveau capital productif d’intérêts.

 Si l’on applique ce principe à un capital de 80 000 DH placé au taux annuel de 8 % pendant 3 ans, ce capital devient :

Années	Capital placé au début de l’année	Intérêt produit pendant l’année	Capital obtenu à la fin de l’année
1 2 3	80 000 86 400 93 312	80 000 x 0,08 =  6 400    86 400 x 0,08 =  6 912    93 312 x 0,08 =  7 464,96                        20 776,96	86 400 93 312 100 776,96

A intérêts simples, le capital obtenu, à la fin de la troisième année, ne serait que de :

                                               80 000 + (80 000 x 0,08 x 3) = 99 200 DH.

Définition :

         Un capital est dit placé à intérêts composés lorsque, à la fin de chaque période que dure le placement, l’intérêt simple produit est ajouté au capital pour former un nouveau capital qui, à son tour, produira intérêt pendant la période suivante et ainsi de suite.

         La capitalisation des intérêts à la fin de chaque période est la caractéristique fondamentale du prêt à intérêts composés. Généralement la capitalisation est annuelle : mais les parties peuvent convenir, dans un contrat, d’une capitalisation semestrielle, trimestrielle, voir mensuelle.

Exemple :

         Que devient un capital de 100 000 DH placé à intérêts composés pendant trois semestres au taux semestriel de 4 % ; capitalisation semestrielle.

Semestres	Capital placé au début de semestre	Intérêt semestriel	Capital obtenu à la fin du semestre
1 2 3	100 000 104 000 108 160	100 000 x 0,04 =  4 000    104 000 x 0,04 =  4 160    108 160 x 0,04 =  4 326,40                             12 486,40	104 000 108 160 112 486,40

A intérêts simples, le capital obtenu ne serait que de :

                                               100 000 + (100 000 x 0,04 x 3) = 112 000 DH.

II – Valeur acquise à intérêts composés : forme générale

1- Le temps de placement est un nombre entier de périodes :

         Désignons par C₀ le capital initial, i le taux d’intérêt par dirham correspondant à la période de capitalisation, n le nombre de périodes de placement, C₁ la valeur acquise à la fin de la première période, C₂ la valeur acquise à la fin de la deuxième période, … C_n-1 la valeur acquise à la fin de la (n - 1)^e période, C_n la valeur acquise à la fin de la n^e période.

                              

         Présentons un tableau de détermination des valeurs acquises successive, identique à celui des exemples précédents.

Périodes	Capital placé	Intérêt produit	Valeur acquise
1 2 3 … n – 1 n	C0 C0(1 + i) C0(1 + i)2 … C0(1 + i)n-2 C0(1 + i)n-1	C0 i C0(1 + i) i C0(1 + i)2 i … C0(1 + i)n-2 i C0(1 + i)n-1 i	C1 = C0 + C0 i = C0(1 + i) C2 = C0(1 + i) + C0(1 + i) i = C0(1 + i)2 C3 = C0(1 + i)2 + C0(1 + i)2 i = C0(1 + i)3 … Cn-1 = C0(1 + i)n-1 Cn = C0(1 + i)n

         Nous obtenons la formule générale de la valeur acquise à Intérêts composés :

C_n = C₀(1 + i)ⁿ

Exemple 1 :

         Reprenons l’exemple d’un capital de 100 000 DH placé pendant trois semestres au taux semestriel de 4 %.

Exemple 2 :

         Soit un capital de 126 000 DH placé au taux annuel de 7 % (capitalisation annuelle).

Les valeurs acquises à la fin de la première, demande, deuxième, troisième, … huitième et vingt cinquième années sont les suivantes :

C₁         =126 000 x (1 + 0,07) = 126 000 x 1,07            = 134 820 DH

C₂      =126 000 x (1 + 0,07)² = 126 000 x 1,144 9      = 144 257,40 DH

C₃      =126 000 x (1 + 0,07)³ = 126 000 x 1,225 043  = 154 355,41 DH

…

C₈         =126 000 x (1 + 0,07)⁸ = 126 000 x 1,718 186  = 216 491,43 DH

…

C₂₅       =126 000 x (1 + 0,07)²⁵ = 126 000 x 5,427 433          = 633 856,55 DH

Remarque :

1- Il faut retenir un nombre suffisant de décimales dans le calcul de (1 + i)ⁿ (utiliser de préférence une calculatrice).

2- La formule de la valeur acquise à intérêts composés nécessite l’utilisation d’un taux par dirham i et d’un nombre de périodes n qui concordent avec la période de capitalisation convenue.

·     capitalisation annuelle : taux annuel et nombre d’années de placement ;

·     capitalisation semestrielle : taux semestriel et nombre de semestres de placement ;

·     capitalisation trimestrielle : taux trimestriel et nombre de trimestres de placement ;

·     capitalisation mensuelle : taux mensuel et nombre de mois de placement.

3- Le montant cumulé des intérêts 1 est obtenu par différence entre la valeur acquise et le capital initial :

                            1 = C_n – C₀.

2- Le temps de placement n’est pas un nombre entire de periods:

Exemple :

         Une somme de 18 700 DH est placée à intérêts composés au taux annuels de 6 % (capitalisation annuelle).

Deux solutions sont possibles : l’une rationnelle, l’autre commerciale.

Solution rationnelle :

         On considère que la valeur acquise au bout de 4 ans  reste placée à intérêts simples pendant 5 mois :

 

Valeur acquise au bout de 4 ans et 5 mois

=

Valeur acquise au bout de 4 ans

+

Intérêts simples produits pendant les cinq dernier mois

valeur acquise au bout de 4 ans : 18 700 x (1,06)⁴ = 18  700 x 1,262 476 96 = 23 608,32 DH.

                                                                                                5

intérêts simples rapportés en 5 mois : 23 608,32 x 0,06 x          = 590,21 DH.

                                                                                               12

Valeur acquise au bout de 4 ans et 5 mois : 23 608,32 + 590,21 = 24 198,53 DH.

Solution commerciale :

         Dans la pratique, la solution rationnelle est peu employée. On lui préfère une solution approchée, fondée sur l’utilisation directe de la formule générale 

C_n – C₀(1 + i)ⁿ où n devient obligatoirement un nombre fractionnaire.

Valeur acquise après 4 ans et 5 mois de placement à intérêts composés (solution commerciale) :

Notons que dans ce cas une seule formule est à retenir : C_n = C₀(1 + i)_n, n étant un nombre fractionnaire. On peut aussi, si l’on utilise la table financière, poser :

Remarques : Les résultats de la solution commerciale sont toujours légèrement inférieurs à ceux de la solution rationnelle (24 188,51 DH au lieu de 24 198,53 DH).

         L’exposant est une fraction de la période de capitalisation concordant avec le taux

                                  53

par dirham utilisé          /   d’année, c’est-à-dire 53 mois ou 4 ans et 5 mois .

                                  12

Exemple :

On place 32 000 DH à intérêts composés au taux trimestriel de 2,25 % pendant 1 an et 8 mois (capitalisation trimestrielle).

         Puisque la capitalisation est trimestrielle, il faut que le temps de placement soit exprimé en trimestres.

                                                                    2          

1 an et 8 mois = 20 mois = 6 trimestres +     /  trimestre.

                                                                    3

C₆ = 32 000 x (1,022 5)⁶ = 32 000 x 1,142 825 44 = 36 570,41 DH.

Solution rationnelle :

III – Taux proportionnels et taux équivalents :

1- Taux proportionnels :

         Deux taux correspondant à des périodes différentes sont dits proportionnels lorsque leur rapport est égal au rapport de leurs périodes respectives.

Exemple :

9 % par an et 2,25 % par trimestre.

                     9           12

En effet :              =      /    (périodes en mois).

                  2,25          3

         Nous savons qu’en intérêts simples deux taux proportionnels produisent sur un même capital les mêmes intérêts au bout du même temps de placement, c’est-à-dire lui donnant la même valeur acquise.

Exemple :

1 000 DH placés à intérêts simples rapportent en un an :

Taux	Intérêt produit	Valeur acquise
9 % l’an 4,50 % par semestre 0,75 % par mois	1 000 x 0,09 = 90 1 000 x 0,045 x 2 = 90 1 000 x 0,007 5 x 12 = 90	1 090 1 090 1 090

         Il n’en va pas de même pour un placement à intérêts composés :

Taux	Intérêt produit
9 % l’an 4,50 % par semestre 0,75 % par mois	1 000 x (1 + 0,09)1  = 1 090 1 000 x (1 + 0,045)2 = 1 090,03 1 000 x (1 + 0,007 5)12 = 1 093,81

         Ce n’est pas étonnant puisqu’il y a capitalisation pendant la période de placement.

2- Taux équivalents :

         A intérêts composés, nous pouvons dès lors déterminer à quel taux semestriel x (par dirham), il faut faire le placement précédent pour obtenir au bout d’un an (soit deux semestres) par capitalisation semestrielle la même valeur acquise que par capitalisation annuelle.

1 000 x (1 + c)² = 1 000 x (1 + 0,09)¹

           (1 + c)² = (1,09)¹

           

   (1 + c)  = (1,09) 1/2     

            c = (1,09)1/2        - 1 = 1,044 03 – 1 = 0,044 03

Ce taux correspondant à des périodes de capitalisation différentes sont dits équivalents lorsque, à intérêts composés, ils donnent, au bout du même temps de placement, à un même capital, la même valeur acquise.

Exemple :

Taux équivalents au taux annuel de 9 %.

Exemple 2 :          Le taux mensuel (période d’une durée d’un mois), équivalent au taux semestriel (période d’une durée de six mois), vérifie la relation : La période de référence est l’année.          Le taux équivalent relatif à une période d’une durée inférieure à l’année (semestre, trimestre, mois, jour) est plus faible que le taux proportionnel correspondant. Le taux équivalent relatif à une période d’une durée supérieure à l’année (capitalisation bisannuelle, trisannuelle) est plus élevé que le taux proportionnel correspondant. ·     La notion de taux d’intérêt équivalent est utilisée dans les calculs d’actualisation, notamment pour déterminer le taux réel d’un emprunt, les échéances pouvant être différentes : semestrielles, trimestrielles ou mensuelles. ·    La notion de taux équivalent est également utilisée quand on étend la formule générale de la valeur acquise à intérêts composés au cas où n est fractionnaire. VI – Valeur actuelle à intérêts composés          Nous savons déterminer la valeur acquise par un capital placé à intérêts composés au bout d’un certain temps de placement (nombre entier ou non de périodes). Cette opération est une capitalisation.          A l’inverse, nous pouvons nous demander quelle somme il faut placer à intérêts composés pour obtenir, après un certain temps de placement, un capital déterminé. Exemple :          Quelle somme faut-il placer à intérêts composés au taux annuel de 7,5 % pour obtenir dans trois ans, versement initial et intérêts réunis, un capital de 20 000 DH ?                                                                    V- Evaluation d’un capital à une époque quelconque Il est donc extrêmement facile d’évaluer à une date quelconque un capital dont on connaît la valeur à une autre date. Exemple :          Un débiteur doit s’acquitter d’une dette de 40 000 DH dans trois ans. ·     Quelle somme doit-il placer aujourd’hui pour disposer de cette somme, compte tenu d’intérêts composés calculés à 4,5 % l’an (capitalisation annuelle), le jour de l’échéance ? ·     S’il préfère n’effectuer ce placement qu’un an avant l’échéance, quelle somme doit-il placer dans les mêmes conditions ? ·     Le créancier lui accordant un délai de paiement de deux ans, combien paiera-t-il s’il règle effectivement sa dette dans cinq ans (le taux convenu entre les parties étant de 4,5 % l’an) ? ·   Puisque le taux n’a pas varié, le débiteur réglera dans 5 ans : 40 000 x (1,045)2 = 40 000 x 1,092 025 = 43 681 DH. solution que l’on peut déterminer également (cf. le schéma linéaire). ·   En partant de la période 0 : 35 051,86 x (1,045)5 = 35 051,86 x 1,246 181 9 = 43 681 DH ·   En partant de la période 2 : 38 277,51 x (1,045)3 = 38 277,51 x 1,141 166 1 = 43 681 DH.  Cet exemple montre à l’évidence qu’il convient de situer sur un schéma linéaire le capital en regard de la date qui lui est associée et qu’en utilisant la formule générale des intérêts composés, il est facile d’évaluer ce capital à toute autre date (postérieure ou antérieure).