Chapitre 5: Equivalence à intérêts simples
I – Equivalence de deux
effets
(ou de deux capitaux)
1-
Exemple
§
un effet de valeur nominale de 8 400 DH, ayant 25 jours à courir,
escompté à 12 %, a une valeur actuelle commerciale de :
12 25
a1
= 8 400 - 8 400 x x = 8 330 DH
100 360
§
un effet de valeur nominale de 8 500 DH, ayant 60 jours à courir,
escompté à 12 %, le même jour, a une valeur actuelle commercial de :
12 60
a2
= 8 500 - 8 500 x x = 8 330 DH
100 360
Les valeurs actuelles commerciales de ces deux effets,
escomptés, le même jour, dans les mêmes conditions, sont égales : nous
dirons qu’à cette date de négociation (date d’équivalence) les deux effets sont
équivalents à intérêts simples.
2-
Equation d’équivalence
Soient A1 et A2 deux effets
ayant n1 et n2 jours
à courir. Ils sont escomptés au taux t % le même jour.
Si ces deux effets sont équivalents, on a :
t
n1
t n2
A1 – A1
x x = A2 –A2 x x
100 360 100 360
3- Définition
Deux effets sont équivalents si,
escomptés au même taux, ils ont la même valeur actuelle à une date déterminée,
dite date d’équivalence.
L’équivalence trouve son application
dans les problèmes de renouvellement d’effets.
4-
Application de l’équation d’équivalence
La mise en application de l’équation d’équivalence
permet de résoudre trois sortes de problèmes, à savoir :
-
la recherche d’une valeur nominale ;
- la recherche d’une
échéance ;
- la recherche du taux
d’équivalence.
4-1- Détermination de la
valeur nominale d’un effet équivalent à un effet donné
§ Exemple
Un
commerçant accepte de remplacer un effet de 8 532 DH payable dans 80 jours par
un effet échéant dans 180 jours. Quel doit être le montant de cet effet, le
taux d’escompte étant de 10% ?
- Solution algébrique
Soit
x en DH la valeur nominale de l’effet remplaçant.
10 80 10
180
8 532 – 8 532 x x =
x – x × ×
100 360 100 360
8 532 – 189,60
= x – 0,05 x
0,95 x = 8 342,40
x = 8 781,47
La
valeur nominale du nouvel effet sera de 8 781,47 DH.
- Solution arithmétique
Valeur actuelle de l’effet
remplacé :
10 80
8 532 –
8 532 x x = 8 342,40 qui est aussi la valeur
actuelle de l’effet remplaçant.
100 360
Si
on a un effet de valeur nominal 3 600 DH ayant 180 jours à courir, sa valeur
actuelle vaut :
10 180
3 600 –
3 600 x x = 3 420 DH
100 360
3
600 x 8 342,40
d’où
valeur nominale de l’effet remplaçant : = 8 781,47
DH
3 420
4-2- Détermination de
l’échéance d’un effet équivalent à un effet donné
§ Exemple
Un effet de 7 250 DH échéant dans 75 jours est
équivalent à un effet de 7 230 DH. Calculer l’échéance du deuxième effet
sachant que le taux est de 8 %.
- Solution algébrique
Soit
n le nombre de jours restant à courir par le deuxième effet.
8 75 8 n
7 250 – 7 250 x x =
7 230 – 7 230 × ×
100 360 100 360
7
250 – 120,83 = 7 230 – 1,606 6 n
1,606 6 n = 100,83
n = 62,75 = 63
L’échéance
du nouvel effet aura lieu dans 63 jours.
- Solution arithmétique
La
valeur actuelle du premier effet est aussi celle de l’effet équivalent.
8 75
7 250 – 7 250 x x = 7 129,17
100 360
Escompte
de l’effet équivalent :
7 230 – 7 129,17 = 100,83
Nombre
de jours restant à courir par le deuxième effet :
36 000 x 100,83
x 8 = 62,75 = 63
7 230
L’échéance
du nouvel effet aura lieu dans 63 jours.
4-3- Détermination du taux
d’escompte
§ Exemple
|
Le 4 juin 1997 (date d’équivalence), on remplace un
effet à 26 jours de valeur nominale 6 372 DH par un effet de 6 429 DH à 58
jours.
A quel taux a été calculé l’escompte pour que ces deux
modalités de paiement soient équivalentes ?
- Solution
t 26 t 58
6 372 – 6372
x x = 6 429 – 6 429 x x
100 360
100 360
6 372 – 4,602
t = 6 429 – 10,357 8 t
5,755 8 t = 57
t = 9,903 0
Le
taux d’escompte a été de 9,90 %.
5- Date d’équivalence
§ Théorème
Si deux effets, de valeurs nominales et d’échéances
différentes, sont équivalents à une date donnée, ils ne l’ont jamais été
auparavant et ne le seront plus à une autre époque. Ce théorème permet de
conclure que la date d’équivalence est unique.
§ Exemple
A quelle date un effet de 4 266 DH échéant dans 70
jours sera-t-il équivalent à un effet de 4 296,08 DH payable dans 95 jours, si
les calculs sont effectués au taux de 10 % ?
-
Solution
Soit x le nombre de jours à courir par
les effets, à partir d’aujourd’hui, pour être équivalents.
Le premier aura donc à courir (70 - x) jours.
Le second aura à courir (95 - x) jours.
10 (70 – x) 10 (95 – x)
4 266 – 4 266
× × = 4 296,08 – 4 296,08 ×
×
100 360 100
360
d’où x = 41 jours.
Les deux effets seront équivalents dans 41 jours à partir
d’aujourd’hui.
6- Cas des effets impayés
Dans ce cas, on pose l’équivalence
entre le nominal de l’effet impayé exigible immédiatement et la valeur nette de
l’effet à créer.
§ Exemple
Un
effet de 14 372 DH de valeur nominale est revenu impayé. Le créditeur tire un
nouvel effet à 72 jours et désire récupérer l’escompte au taux de 12 %, des
commissions de 44,80 DH et la T.V.A. au taux de 10 %.
- Solution
Soit A en DH la valeur nominale du nouvel effet.
12 72
Escompte = A x x = 0,024 A
100 360
Agios hors taxe =
0,024 A + 44,80
10
T.V.A. = (0,024 A + 44,80) x
100
T.V.A. = 0,0024
A + 4,48
D’où A – (0,024
A + 44,80 + 0,0024 A + 4,48) = 14 372
0,9736 A = 14 421,28
A = 14 812,325
L’effet à 72 jours a une valeur nominale de 14 812,325
DH.
II – Equivalence d’un
effet et de plusieurs autres
1- Définition
A une date donnée et à un taux donné, un effet est
équivalent à plusieurs autres si la valeur actuelle de l’effet unique est égale
à la somme des valeurs actuelles des autres effets.
2-
Equation d’équivalence
Soit A un effet ayant n jours à courir
et A1, A2, A3 trois autres effets ayant
respectivement n1, n2 et n3 jours à
courir ; t est le taux d’escompte.
Le premier effet est équivalent aux
autres si :
N.B. : le principe
reste le même quel que soit le nombre d’effets.
3- Pratique de cette
équivalence
Cette équivalence trouve son
application dans le cas où un créancier accepte de remplacer une créance par
deux ou plusieurs autres. Pour cela, il faut que l’échange soit équilibre, ce
qui signifie que la valeur actuelle de la créance originaire soit égale à la
somme des valeurs actuelles des créances remplaçantes.
Dans l’équation d’équivalence, on peut
être amené à calculer :
-
une valeur nominale : A, A1, …
- une échéance : n, n1,…
- le taux
d’équivalence : t.
La recherche de la valeur nominale (A)
ou de l’échéance de l’effet unique (n) est dite « problème de l’échéance
commune ».
4-
Cas de l’échéance commune
C’est la détermination de la valeur
nominale ou de l’échéance de l’effet unique équivalent à plusieurs autres.
4-1-
Recherche de la valeur nominale de l’effet unique
§ Exemple
Monsieur Nidal doit à un créancier trois effets de
valeurs nominales respectives :
10 000 DH, 15 000 DH et 20 000 DH, et d’échéances respectives : 45,
60 et 70 jours. Il voudrait le régler en une seule traite dont l’échéance
serait à 50 jours.
Quelle doit être la valeur nominale de cette traite
pour que les deux modes de règlement soient équivalents aujourd’hui au taux de
12 % ?
- Solution algébrique
Soit
A en DH la valeur nominale de l’effet unique.
12 50
A – A x x
=
100 360
12 45 12 60 12 70 10 000 – 10 000 x x
+ 15 000 – 15000 x
x + 20 000 - 20 000 x x
100
360 100 360 100 360
A 58 600
A
- = 9 850 + 14 700 +
60 3
59 A
2 645 000
= soit A = 44
830,51
60 60
La valeur nominale du nouvel effet serait de 44 830,51
DH.
- Solution arithmétique
La
somme des valeurs actuelles des effets à remplacer est égale à la valeur
actuelle de l’effet unique.
12 45
10 000 – 10 000 x x = 9 850,0100 360
12
60
15 000
– 15 000 x x = 14 700,00
100 360
12 70
20 000 – 20 000 x x = 19 533,34
100 360
44 083,34
Supposons une valeur nominale égale à 3 000 DH. Dans ce cas,
la valeur actuelle de l’effet unique serait :
50
3 000 – 3 000 x 0,12 x = 2 950
360
Par une règle de trois simple, on peut calculer, maintenant,
la valeur nominale de l’effet unique :
3 000 x 44 083,34
= 44 830,51 DH
2 950
4-2- Recherche de
l’échéance de l’effet unique
§ Exemple
L’entreprise Wiame doit trois traites à un créancier
valant respectivement 6 000 DH, 4 500 DH et 4 200 DH ; les échéances
respectives sont 64,85 et 95 jours. Elle désire régler, aujourd’hui, en lui
remettant une traite de 15 000 DH.
Quelle devrait être l’échéance de cette traite pour
que les deux modes de règlement soient équivalents, aujourd’hui au taux de 10
% ?
- Solution algébrique
Soit
n en jours l’échéance de l’effet de 15 000 DH.
10
n
15 000 – 15 000 x
x =
100 360
10
64
10 85 10 95
6 000 – 6 000 x x
+ 4 500
– 4 5000 x x + 4 200
- 4 200 x x
100 360 100
360
100 360
90 000 – 25n = (36 000
- 640) + (27 000 – 637,50) + (25 200 - 665)
25n = 3 742,50
n =
149 ,70 soit 150 jours.
|
- Solution arithmétique
Calcul
des valeurs actuelles
10 64
6 000 – 6 000 x x = 5 893,33
100 360
10 85
4 500 – 4 500 x x = 4 393,75
100 360
10 95
4 200 – 4 200 x x = 4 089,17
100 360
14 376,25 = valeur actuelle de
l’effet unique.
Escompte de l’effet unique : 15 000 – 14 376,25 =
623,75.
Nombre
de jours restant à courir pour l’effet unique :
623,75 x 3 600
=
150
15 000
5 – Cas particulier :
l’échéance moyenne
C’est la recherche de l’échéance
« x » de l’effet unique qui remplacera plusieurs effets (A1,
A2, A3…) venant à échéances respectives n1, n2,
n3 …de telle sorte que la valeur nominale de l’effet unique soit
égale à la somme des valeurs nominales des divers effets remplacés.
Dans ce cas particulier, on a donc :
|
5-1- Recherche de
l’échéance « x »
Utilisons l’équation d’équivalence.
|
t x t n1 t
n2
t n3
A - A
× × =
A1 - A1 x
x + A2 - A2 x x
+ A3 - A3 x x
100 360 100 360 100
360 100 360
D’où :
|
t x t n1 t n2 t n3
A- A1+
A2 + A3 +… - A ×
× = - A1 x x
- A2 x x
- A3 x x
100 360 100 360 100
360 100 360
et, puisque A = A1 + A2 + A3 + …
t x t n1 t n2 t
n3
A ×
× = ( A1 x
x ) + (A2 x x
)+ (A3 x x ) + …
100 360 100 360
100 360 100
360
Soit
Ax = A1 n1 + A2 n2 + A3
n3 + …
A1 n1 + A2 n2
+ A3 n3 + …
x = /
A1 + A2
+ A3 + …
On
constate que :
-
l’échéance moyenne est indépendante du taux ;
-
le choix de la date d’équivalence n’ayant pas d’influence sur le
résultat, on peut prendre n’importe quelle date d’équivalence.
5-2- Exemple
On veut remplacer les quatre effets suivants :
7 200 DH au 15 février N,
6 000 DH au 4 mars N,
9 200 DH au 30 mars N,
1 600 DH au 20 avril N,
Par un effet unique de 24 000 DH. Quelle sera la date
d’échéance de l’effet remplaçant ?
n.b. :
l’année N n’est pas bissextile.
- Solution algébrique
Somme des valeurs nominales
des 4 effets : 7 200 + 6 000 + 9 200 + 1 600 = 24 000 DH.
Puisque la somme des valeurs
nominales des 4 effets est égale à celle de l’effet unique, il s’agit du
problème de l’échéance moyenne.
Choisissons comme date
d’équivalence la date d’échéance du premier effet.
Donc par application de la
formule précédente, on a :
(7 200 x 0) + (6 000 x 17) + (9 200 x
43) + (1 600 x 64)
x =
7 200 + 6 000 + 9 200 + 1 600
0 + 102 000 + 395 600 + 102 400
x =
24 000
D’où : x = 25
- Solution par bordereau
Choisissons comme date
d’équivalence le 31 janvier N.
Réponse : l’échéance moyenne aura lieu 40 jours après le 31/1/N
soit le 12/3/N (échéance de l’effet unique).
|
Chapitre 5: Equivalence à intérêts simples
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