Chapitre 5: Equivalence à intérêts simples

I – Equivalence de deux effets
          (ou de deux capitaux)
1- Exemple
§  un effet de valeur nominale de 8 400 DH, ayant 25 jours à courir, escompté à 12 %, a une valeur actuelle commerciale de :
                                                                                 12            25
                                           a1  = 8 400 -  8 400 x            x               = 8 330 DH
                                                                                100          360
§  un effet de valeur nominale de 8 500 DH, ayant 60 jours à courir, escompté à 12 %, le même jour, a une valeur actuelle commercial de :
                                                                                 12            60
                                           a2  = 8 500 - 8 500 x            x               = 8 330 DH
                                                                                100          360

Les valeurs actuelles commerciales de ces deux effets, escomptés, le même jour, dans les mêmes conditions, sont égales : nous dirons qu’à cette date de négociation (date d’équivalence) les deux effets sont équivalents à intérêts simples.
2- Equation d’équivalence
Soient A1 et A2 deux effets ayant n1 et n2  jours à courir. Ils sont escomptés au taux t % le même jour.
Si ces deux effets sont équivalents, on a :
                   t          n1                          t          n2
A1 – A1 x          x          = A2 –A2 x         x
                100      360                       100      360
3- Définition
         Deux effets sont équivalents si, escomptés au même taux, ils ont la même valeur actuelle à une date déterminée, dite date d’équivalence.
         L’équivalence trouve son application dans les problèmes de renouvellement d’effets.

4- Application de l’équation d’équivalence
        
La mise en application de l’équation d’équivalence permet de résoudre trois sortes de problèmes, à savoir :
- la recherche d’une valeur nominale ;
- la recherche d’une échéance ;
- la recherche du taux d’équivalence.

4-1- Détermination de la valeur nominale d’un effet équivalent à un effet donné

§  Exemple
Un commerçant accepte de remplacer un effet de 8 532 DH payable dans 80 jours par un effet échéant dans 180 jours. Quel doit être le montant de cet effet, le taux d’escompte étant de 10% ?

- Solution algébrique
Soit x en DH la valeur nominale de l’effet remplaçant.

                                      10        80                          10         180
                    8 532 – 8 532 x           x            =  x – x  ×           ×
                                               100       360                       100        360
        
                                            8 532 – 189,60  = x – 0,05 x
                                                          0,95 x  = 8 342,40
                                                                  x  = 8 781,47

La valeur nominale du nouvel effet sera de 8 781,47 DH.

- Solution arithmétique
Valeur actuelle de l’effet remplacé :
                            10     80                          
8 532 – 8 532 x         x      = 8 342,40 qui est aussi la valeur actuelle de l’effet remplaçant.
                           100   360  
Si on a un effet de valeur nominal 3 600 DH ayant 180 jours à courir, sa valeur actuelle vaut :
                             10   180                          
3 600 – 3 600 x         x      = 3 420 DH
                           100   360  
                                                                         3 600 x 8 342,40
d’où valeur nominale de l’effet remplaçant :                                 = 8 781,47 DH
                                                                                  3 420

4-2- Détermination de l’échéance d’un effet équivalent à un effet donné

§  Exemple
Un effet de 7 250 DH échéant dans 75 jours est équivalent à un effet de 7 230 DH. Calculer l’échéance du deuxième effet sachant que le taux est de 8 %.

- Solution algébrique
Soit n le nombre de jours restant à courir par le deuxième effet.

                                        8        75                                        8           n
                    7 250 – 7 250 x           x            =  7 230 – 7 230  ×           ×
                                               100       360                                    100        360
        
                                            7 250 – 120,83  = 7 230 – 1,606 6 n
                                                     1,606 6 n  = 100,83
                                                                  n  = 62,75 = 63
L’échéance du nouvel effet aura lieu dans 63 jours.

- Solution arithmétique
La valeur actuelle du premier effet est aussi celle de l’effet équivalent.

                                         8       75                          
           7 250 – 7 250 x         x         = 7 129,17
                                      100     360  
Escompte de l’effet équivalent :
                             7 230 – 7 129,17 = 100,83
Nombre de jours restant à courir par le deuxième effet :

             36 000 x 100,83
                                          x  8 = 62,75 = 63
                      7 230
L’échéance du nouvel effet aura lieu dans 63 jours.

4-3- Détermination du taux d’escompte

§  Exemple


 

Le 4 juin 1997 (date d’équivalence), on remplace un effet à 26 jours de valeur nominale 6 372 DH par un effet de 6 429 DH à 58 jours. 
A quel taux a été calculé l’escompte pour que ces deux modalités de paiement soient équivalentes ?

- Solution
                                         t       26                                     t          58
           6 372  – 6372  x         x         = 6 429 – 6 429 x          x
                                      100     360                                100        360

                                 6 372 – 4,602 t = 6 429 – 10,357 8 t
                                           5,755 8 t = 57
                                                        t = 9,903 0

Le taux d’escompte a été de 9,90 %.

5- Date d’équivalence

§  Théorème
Si deux effets, de valeurs nominales et d’échéances différentes, sont équivalents à une date donnée, ils ne l’ont jamais été auparavant et ne le seront plus à une autre époque. Ce théorème permet de conclure que la date d’équivalence est unique.

§  Exemple
A quelle date un effet de 4 266 DH échéant dans 70 jours sera-t-il équivalent à un effet de 4 296,08 DH payable dans 95 jours, si les calculs sont effectués au taux de      10 % ?

- Solution
         Soit x le nombre de jours à courir par les effets, à partir d’aujourd’hui, pour être équivalents.
         Le premier aura donc à courir (70 - x) jours.
         Le second aura à courir (95 - x) jours.

                                        10      (70 – x)                                              10         (95 – x)
           4 266  – 4 266  ×         ×                 = 4 296,08 – 4 296,08  ×         ×
                                      100         360                                                 100          360
         d’où x = 41 jours.
         Les deux effets seront équivalents dans 41 jours à partir d’aujourd’hui.

6- Cas des effets impayés
         Dans ce cas, on pose l’équivalence entre le nominal de l’effet impayé exigible immédiatement et la valeur nette de l’effet à créer.

§  Exemple
Un effet de 14 372 DH de valeur nominale est revenu impayé. Le créditeur tire un nouvel effet à 72 jours et désire récupérer l’escompte au taux de 12 %, des commissions de 44,80 DH et la T.V.A. au taux de 10 %.



 Quelle doit être la valeur nominale du nouvel effet ?
- Solution
         Soit A en DH la valeur nominale du nouvel effet.
                                                          12          72
         Escompte =                    A x           x            = 0,024 A
                                                          100       360

         Agios hors taxe =        0,024 A + 44,80
                                                                                10
         T.V.A. =                    (0,024 A + 44,80) x
                                                                              100
         T.V.A. =              0,0024 A + 4,48
         D’où        A – (0,024 A + 44,80 + 0,0024 A + 4,48) = 14 372
                                                                               0,9736 A = 14 421,28
                                                                                              A = 14 812,325
         L’effet à 72 jours a une valeur nominale de 14 812,325 DH.

II – Equivalence d’un effet et de plusieurs autres  

1- Définition
A une date donnée et à un taux donné, un effet est équivalent à plusieurs autres si la valeur actuelle de l’effet unique est égale à la somme des valeurs actuelles des autres effets.

2- Equation d’équivalence
         Soit A un effet ayant n jours à courir et A1, A2, A3 trois autres effets ayant respectivement n1, n2 et n3 jours à courir ; t est le taux d’escompte.
         Le premier effet est équivalent aux autres si :
      
N.B. : le  principe reste le même quel que soit le nombre d’effets.


3- Pratique de cette équivalence
         Cette équivalence trouve son application dans le cas où un créancier accepte de remplacer une créance par deux ou plusieurs autres. Pour cela, il faut que l’échange soit équilibre, ce qui signifie que la valeur actuelle de la créance originaire soit égale à la somme des valeurs actuelles des créances remplaçantes.
         Dans l’équation d’équivalence, on peut être amené à calculer :
- une valeur nominale : A, A1, …
- une échéance : n, n1,…
- le taux d’équivalence : t.
         La recherche de la valeur nominale (A) ou de l’échéance de l’effet unique (n) est dite « problème de l’échéance commune ».

4- Cas de l’échéance commune
         C’est la détermination de la valeur nominale ou de l’échéance de l’effet unique équivalent à plusieurs autres.

4-1- Recherche de la valeur nominale de l’effet unique

§  Exemple
Monsieur Nidal doit à un créancier trois effets de valeurs nominales respectives :      10 000 DH, 15 000 DH et 20 000 DH, et d’échéances respectives : 45, 60 et 70 jours. Il voudrait le régler en une seule traite dont l’échéance serait à 50 jours.
Quelle doit être la valeur nominale de cette traite pour que les deux modes de règlement soient équivalents aujourd’hui au taux de 12 % ?

- Solution algébrique
Soit A en DH la valeur nominale de l’effet unique.
                            12          50                                       
                    A – A  x              x              = 
                                     100         360

                               12        45                                    12     60                                    12   70  10 000 – 10 000 x         x          + 15 000 – 15000  x       x         + 20 000 - 20 000 x      x
                              100      360                                  100   360                                 100 360

        A                                       58 600
A -         =  9 850 + 14 700  + 
        60                                         3
                                         
    59 A          2 645 000
                =                                  soit A = 44 830,51
     60                   60

         La valeur nominale du nouvel effet serait de 44 830,51 DH.
                
- Solution arithmétique
La somme des valeurs actuelles des effets à remplacer est égale à la valeur actuelle de l’effet unique.
                                          12      45                          
           10 000 – 10 000 x         x         = 9 850,0100     360  
                                        12       60
15 000 – 15 000 x          x         = 14 700,00
100     360

                                          12      70                          
           20 000 – 20 000 x         x         = 19 533,34
                                         100     360  
                                                          44 083,34
        
         Supposons une valeur nominale égale à 3 000 DH. Dans ce cas, la valeur actuelle de l’effet unique serait :
                                                 50                          
           3 000 – 3 000 x 0,12 x         = 2 950
                                                360  
         Par une règle de trois simple, on peut calculer, maintenant, la valeur nominale de l’effet unique :

         3 000 x 44 083,34
                                           = 44 830,51 DH
                    2 950

4-2- Recherche de l’échéance de l’effet unique

§  Exemple
L’entreprise Wiame doit trois traites à un créancier valant respectivement 6 000 DH, 4 500 DH et 4 200 DH ; les échéances respectives sont 64,85 et 95 jours. Elle désire régler, aujourd’hui, en lui remettant une traite de 15 000 DH.
Quelle devrait être l’échéance de cette traite pour que les deux modes de règlement soient équivalents, aujourd’hui au taux de 10 % ?

- Solution algébrique
Soit n en jours l’échéance de l’effet de 15 000 DH.
                                            10             n                                       
                    15 000 – 15 000  x              x              = 
                                                     100          360

                            10       64                                       10     85                                  10     95 
6 000 – 6 000 x         x            +   4 500 – 4 5000 x       x           +  4 200 - 4 200 x      x
                           100     360                                     100   360                                 100  360

                         90 000 – 25n = (36 000 - 640) + (27 000 – 637,50) + (25 200 - 665)

                                        25n = 3 742,50

                                            n = 149 ,70 soit 150 jours.

- Solution arithmétique
Calcul des valeurs actuelles

                                       10      64                          
           6 000 – 6 000 x         x         = 5 893,33
                                      100     360
  
                                       10      85                          
           4 500 – 4 500 x         x         = 4 393,75
                                      100     360

                                      10        95                          
                    4 200 – 4 200 x         x         = 4 089,17
                                     100      360
                                                      14 376,25 = valeur actuelle de l’effet unique.


         Escompte de l’effet unique : 15 000 – 14 376,25 = 623,75.
Nombre de jours restant à courir pour l’effet unique :

                                                 623,75 x 3 600                          
                                                                             = 150
                                                        15 000

5 – Cas particulier : l’échéance moyenne
         C’est la recherche de l’échéance « x » de l’effet unique qui remplacera plusieurs effets (A1, A2, A3…) venant à échéances respectives n1, n2, n3 …de telle sorte que la valeur nominale de l’effet unique soit égale à la somme des valeurs nominales des divers effets remplacés.
         Dans ce cas particulier, on a donc :

A = A1 +  A2  + A3 + …
 
 



5-1- Recherche de l’échéance « x »
         Utilisons l’équation d’équivalence.


+ …
 
                 t       x                       t       n1                          t       n2                         t        n3
A - A ×        ×       =  A1 - A1 x      x          +  A2 - A2 x      x         +   A3 - A3 x      x         
               100   360                  100   360                      100   360                      100   360
D’où :

-  …
 
                                               t        x                   t       n1               t       n2              t        n3
A-  A1+ A2 + A3 +… - A ×        ×        = -  A1 x      x         - A2 x      x        - A3 x       x       
                                            100    360              100    360           100   360           100   360

et, puisque A = A1 + A2 + A3 + …
   t        x                   t        n1                 t        n2                t        n3
A ×        ×        = ( Ax       x      )  + (A2 x      x      )+ (A3 x       x       )  + …
      100    360              100     360             100    360             100   360

Soit Ax = A1 n1 + A2 n2 + A3 n3 + …
                     A1 n1 + A2 n2 + A3 n3 + …
x =                     /
                 A1 + A2 + A3 + …
On constate que :
-         l’échéance moyenne est indépendante du taux ;
-         le choix de la date d’équivalence n’ayant pas d’influence sur le résultat, on peut prendre n’importe quelle date d’équivalence.

5-2- Exemple
         On veut remplacer les quatre effets suivants :
                   7 200 DH au 15 février N,
                   6 000 DH au 4 mars N,
                   9 200 DH au 30 mars N,
                   1 600 DH au 20 avril N,
        
Par un effet unique de 24 000 DH. Quelle sera la date d’échéance de l’effet remplaçant ?

n.b: l’année N n’est pas bissextile.

- Solution algébrique

Somme des valeurs nominales des 4 effets : 7 200 + 6 000 + 9 200 + 1 600 = 24 000 DH.

Puisque la somme des valeurs nominales des 4 effets est égale à celle de l’effet unique, il s’agit du problème de l’échéance moyenne.
Choisissons comme date d’équivalence la date d’échéance du premier effet.
Donc par application de la formule précédente, on a :

                           (7 200 x 0) + (6 000 x 17) + (9 200 x 43) + (1 600 x 64)
                x = 
                                            7 200 + 6 000 + 9 200 + 1 600

                          0 + 102 000 + 395 600 + 102 400
                 x =
                                               24 000
D’où :       x = 25




 L’effet unique aura pour échéance le 12/03/N.
- Solution par bordereau

Choisissons comme date d’équivalence le 31 janvier N.

Valeurs nominales
Echéances
Jours
Nombres (A x n)

7 200,00
6 000,00
9 200,00
1 600,00
 

         24 000,00

15/2/N
04/3/N
30/3/N
20/4/N

 
  15
  32
  58
  79

   
108 000,00
192 000,00
533 600,00
126 400,00
  
960 000,00




         

            960 000
   x =                      = 40
             24 000


Réponse : l’échéance moyenne aura lieu 40 jours après le 31/1/N soit le 12/3/N (échéance de l’effet unique).

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