Mathématiques financièresTCEII

Exercice 1 :

         Une entreprise envisage l'achat d'un équipement pour accroitre sa production. Elle hésite entre deux propositions :

·        L’investissement A, coûtant 900 000 dh qui devrait être utilisé pendant 5 ans. Cet investissement permettrait de réaliser des recettes supplémentaires de 1 440 000 dh par an pendant 5 ans. Les charges relatives à cet investissement sont estimées, à        1 200 000 dh par an.

·        L’investissement B, acheté 960 000 dh augmentait le chiffre d’affaires annuel de    1 920 000 dh les 2 premières années, puis 1 200 000 dh les 3 années suivantes. Les charges relatives à cet investissement sont estimées à 1 440 000 dh les 2 premières années, puis 1 020 000 dh les années suivantes.

Les charges comprennent l’amortissement du matériel (180 000) dh par an pour l’investissement A et 192 000 dh par an pour l’investissement B). l’entreprise est soumise à l’impôt sur les sociétés de 36 % et utilise habituellement un taux d’actualisation de 12 %.

Les deux types de matériels ont des valeurs résiduelles nulles.

Travail à faire :

1)    Calculer les valeurs actuelles nettes pour chaque investissement.

Quel investissement doit-on choisir ?

2)    Déterminer les délais de récupération.

3)    Déterminer les taux internes de rentabilité pour les deux types d’investissement.

Exercice 2 :

         Un investissement dont le prix d’acquisition est de 700 000 dh procure pendant       9 ans  des flux nets de trésorerie de 138 800 dh par an. Les flux sont établis selon deux hypothèses :

         Hypothèse 1 : les FNT sont perçus en fin d’année.

         Hypothèse 2 : les FNT sont perçus annuellement mais le premier dans 1 an et demi.

Travail à faire :

1)    Déterminer le TIR dans les deux cas.

Etudier la rentabilité de l’investissement selon les deux hypothèses.

Solution :

Exercice 1 :

         a)

         Investissement A :

         le tableau ci – dessous donne les flux nets de trésorerie

Année	1	2	3	4	5
Recettes - Charges	1 440 000 1 200 000	1 440 000 1 200 000	1 440 000 1 200 000	1 440 000 1 200 000	1 440 000 1 200 000
= Résultat avant impôts - IS Á 36 %	240 000 86 400	240 000 86 400	240 000 86 400	240 000 86 400	240 000 86 400
= Résultat après impôts + Amortissements	153 600 180 000	153 600 180 000	153 600 180 000	153 600 180 000	153 600 180 000
FNT	333 600	333 600	333 600	333 600	333 600

La VAN de ce projet est donc égale à :

VAN = - 900  000 + 333 600 1 – (1,12)^-5  = 302 553,34 dh

                                               0,12

         Investissement B :

Année	1	2	3	4	5
Recettes - Charges	1 920 000 1 440 000	1 920 000 1 440 000	1 200 000 1 020 000	1 200 000 1 020 000	1 200 000 1 020 000
= Résultat avant impôts - IS Á 36 % = Résultat après impôts + Amortissements	480 000 172 800 307 200 192 000	480 000 172 800 307 200 192 000	180 000 64 800 115 200 192 000	180 000 64 800 115 200 192 000	180 000 64 800 115 200 192 000
FNT	499 200	499 200	307 200	307 200	307 200

         Les FNT se présentent ainsi :

                 

            -960 000         499 200        499 200      307 200      307 200      307 200

 

                                                                                                                                         12 %

                0                       1                     2                    3                  4                 5

                   Calculons maintenant la VAN

VAN = -960 000 + 499 200  1 – (1,12)^-2  + 307 200  1 – (1,12)^-3 (1,12)^-2

                                                                 0,12                           0,12

                          = 471 877,04 dh

         On ne peut pas conclure, car les montants des deux investissements sont différents. Calculons les indices de profitabilité :

                                                    _n

                                               IP = S FNT actualisés / I

                                                   ^k=1

                                               (IP)_A =  1 202 553,35  = 1,336

                                                            900 000

                                               (IP)_B =  1 431 877,04  = 1,491

                                                            960 000

         Conclusion : choisir l’investissement B.

                  

b) Le tableau suivant nous facilite la recherche des délais de récupération :

	Investissements A		Investissement B
Année	FNT actualisés	Cumul des FNT actualisés	FNT actualisés	Cumul des FNT actualisés
1 2 3 4 5	297 857,14 265 943,88 237 449,89 212 008,83 189 293,60	297 857,14 563 801,02 801 250,91 1 013 259,74 1 20 553,34	445 714,26 397 959,18 218 658,89 195 231,15 174 313,53	445 714,26 843 673,44 1 062 332,33 1 257 563,48 1 431 877,01

D’où DR_A est compris entre 3 et 4 ans

année                          Cumul des FNT actualisés

3                                                         801 250,91 DRA                                                     900 000 4                                                        - 1 013 259,74

                           

DR_A = 3 +     900 000 – 801 250,91    = 3,465 778 années

                                          1 013 259,74 – 801 250,91

                            Soit 3 ans 5 mois et 18 jours.

                            De la même manière et par interpolation linéaire, on trouve

                                      DR_B = 2 ans 6 mois et 12 jours

                            Conclusion : choisir l’investissement B.

Remarque :

         On remarque là aussi, l’inconvénient du délai de récupération. En plus du choix arbitraire du taux d’actualisation qui ne prend pas en compte les flux de trésorerie après le délai recherché.

         c) Investissement A :

         recherche du TIR : si r est ce taux, alors :

                                                        336 600 1 – (1 + r)^-5  = 900 000

                                                                         R

         Le taux recherché est donc supérieur au taux d’actualisation de 12 %.

                   Si TIR = 12 %                                  VAN = 302 553,34

                   Si TIR = 20 %                                  VAN = 97 668,20

                   Si TIR = 24 %                                  VAN = 15 860,24

                   Si TIR = 25 %                                  VAN = -2 856,19

         Donc 24 < TIR < 25 et on trouve par interpolation linéaire TIR = 24,85 %

Investissement B :

                    si (r) est le TIR recherché, alors :

                   499 200 1 – (1 + r)^-2  = 307 200  1 – (1 + r)^-3  (1 + r)^-2 = 96 000

                                            r                                     r

        

Le taux recherché est supérieur à 12 %

                   Si TIR = 12 %                                  VAN = 417 877,00

                   Si TIR = 25 %                                  VAN = 142 626,81

                   Si TIR = 30 %                                  VAN = 49 508,80

                   Si TIR = 34 %                                  VAN = -15 389,90

         Donc 30 < TIR < 34 et on trouve par interpolation linéaire

TIR = 33,05 %

         Conclusion : choisir toujours l’investissement B

Exercice 2 :

         Hypothèse 1 :

                   On peut écrire à la date 0 :

                            700 000 = 138 800 1 – (1 + r)^-9  avec TIR = r

                                                              r

                   Ce qui donne 1 – (1 + r)^-9  = 5,043227

                                              r

         d’après la table financière n° 4 on a : 13 < r < 13,5

         Par interpolation linéaire

taux                                                          VAN

13 %                                                         12 273,73 TIR                                                               0 13,5%                                                       - 773,86

                                      TIR = 13 + 0,25        0 – 12 273,73     4

                                                             - 773,86 – 12 273,73

                                      TIR » 13,47 %

         Hypothèse 2 : a) 

         A la date 0 on l’égalité suivante :

                            700 000 = 138 800 1 – (1 + r)^-9  (1 + r)^-0,5

                                                              r

                   on sait en plus le taux est voisin de 13 %.

         Essayons de calculer tout d’abord la 1^ère VAN à 13 %.

         On sait que la VAN est négative à 13 %. Le taux 13 % est donc supérieur au TIR. Essayons par tâtonnement avec des taux inférieur à 13 %.

taux                                                          VAN

12 %                                                         - 1 180,47 TIR                                                               0 11%                                                         - 29 467,97

         Par interpolation linéaire, on trouve TIR = 11,96%

b)     

                                      si TIR < 11,96 %                    : H₁ et H₂ rentables

                                      si 13,47 < TIR < 11,96           : H₁ non rentable

                                                                                     : H₂ rentable

si TIR < 13,47 %                    : H1 et H2 non rentables