Mathématiques financièresTCEII

Exercice 1 :

            Dans un dépliant concernant une formule d'épargne retraite, proposée par une grande banque on trouve les indications suivantes :

            Simulation sur la base d’une rémunération de 9 %.

Age	Cotisation mensuelle en dh	Capital à 60 ans en dh	Rente annuelle à vie à 60 ans en dh (à terme échu)
30 ans	300	514 314	60 149
40 ans	600	386 074	45 151
50 ans	1500	286 629	33 521

Travail à faire :

1-     Montrer comment le capital constitué à l’âge de 60 ans a été calculé.

2-     Calculer le taux de rendement pour un souscripteur qui vivrait jusqu’à l’âge de :

* 80 ans

* 100 ans

3-     Pour quel âge le taux de rendement est-il proche 9 % ?

NB : la rente viagère relève du domaine de l’actuariat ; la méthode de calcul de cette rente n’est donc pas demandé ici.

Exercice 2 :

            Soit une suite de 12 annuités constantes, dont la valeur est égale à :

-         159 448,39 dh deux ans avant le premier versement

-         622 059,49 dh deux ans après le dernier versement

Travail à faire :

1-     Calculer la valeur de cette suite un an avant le premier versement.

2-     Calculer l’annuité.

3-     Remplacer la suite par un versement unique de 300 000 dh.

Exercice 3 : Calculer la valeur actuelle deux ans avant le premier versement et la valeur acquise deux ans après le dernier versement d’une suite de 12 annuités en augmentation de 15 000 dh par an, la première étant de 35 000 dh. Taux : 10,5 l’an.

Exercice 4 :  Calculer la valeur actuelle un an avant le premier versement et la valeur acquise un an après le dernier versement, d’une suite de 12 annuités en augmentation de 5 % par an, la première étant de 35 000 dh. Taux : 10,5 l’an.

Réponses:

Solution :

Exercice 1 :

                   a) Ici on utilise les taux équivalents ;

                            i = 1,09^1/2  - 1 = 0,00720732

                   le capital est constitué un mois après le dernier versement :

âge	Cotisation mensuelle	Capital à 60ans
30 ans 40 ans 50 ans	300 dh 600 dh 1 500 dh	300  1,0072360 – 1    1,0072 = 514 314             0,0072 600  1,0072240 – 1    1,0072 = 386 074             0,0072 1 500  1,0072120 – 1    1,0072 = 386 629             0,0072

                   b) Le rapport capital/rente est constant celui-ci est égal à 8,5507

                   * Pour 80 ans on a :

                            1 – (1 +i)^-20  = 8,5507 ce qui donne i = 0,0994

                                  i

                   soit un taux de rendement de 9,94%

                   * Pour 100 ans on a :

                            1 – (1 +i)^-40  = 0,5 507   → En négligeant (1 + i)^-40

                i

On obtient i = 0,1169 soit un taux de rendement de 11,69%.

                                  i

                   c)  1 -,09^-n  = 8,5507 ce qui donne n » 17 ans

                         0,09

Ainsi pour une personne ayant vécu jusqu’à 77 ans e taux de rendement est proche de 9 %.

Exercice 2 :

a)    622 059,49 = 159 448 x (1 + i)¹⁵  → i = 0,095 soit 9,5% l’an

    D’où A₀ = 159 448,39 x 1,095 = 174 595, 99 dh

b)      a = 174 595,99       0,095     = 25 000 dh

                           1 – 1,095^-12

c)      25 000 x 12 = 300 000 ici on cherche l’échéance moyenne de la suite

12 x 1,095^-n = 1 – 1,095^-12    n = 5 ans, 11 mois et 17 jours

                           0,095

Exercice 3 :

        

        

  35 000         50 000        65 000                                                              200 000

                                                                                                                                 10,5%

 

     0                  1                  2                    3                                                  12

 

                                                              15 ans

                   A₁₂ = (35 000 + 15 000) 1,105¹² – 1 – 12 x 15 000  = 2 205 208,14 dh

                                                0,105        0,105                0,105

                            D’où A₁₄ = A₁₂ x 1,105² = 2 692 702,19 dh

                                      A_-1 = A₁₂ x 1,105^-13 = 602 218,58

Exercice 4 :

                  

                     35 000         36 750        38 587,50                                     59 861,88

                                                                                                                                       10,5%

 

     0                  1                  2                    3                                                  12

                   A₁₂ = 35 000 1,105¹² – 1,05¹²  = 966 066,33 dh

                                             0,105 - 0,05

                            D’où A₁₃ = A₁₂ x 1,105 = 1067 503,30 dh

                                      A₀ = A₁₂ x 1,105^-12 = 291 514,13 dh