Chapitre : Les annuités

L’étude des annuités nous semble d’une importance capitale ; celles-ci permettent, en effet, de résoudre plusieurs problèmes relatifs :

·        Aux emprunts (remboursement de crédits)

·        Aux placements (constitution d’un capital retraite par exemple).

·        A la rentabilité d’un investissement.

I-1- Définition :

On appelle annuités des sommes payables à intervalles de temps réguliers.

Dans le cas des annuités proprement dites les sommes sont versés (ou perçus) chaque année à la même date ; la période retenue est alors l’année. On peut cependant, effectuer des paiements semestriels, trimestriels ou mensuels, dans ces cas on parle de semestrialités, de trimestrialités ou de mensualités. Le versement d’annuités a pour objet, soit de rembourser une dette, soit de constituer un capital.

En matière d’investissement les annuités correspondent à des flux financiers, il s’agit de gains nets pour l’investisseur, contenant à la fois l’amortissement, le revenu net d’impôt et les financiers.

I-2- Annuités constantes de fin de période :

Ici les sommes sont payables à la fin de chaque période, le début de la première période est appelé origine de la suite d’annuités, en outre ces sommes sont constantes.

I-2-1- Valeur acquise :

A- Valeur acquise au moment du dernier versement :

Soient :

a        : le montant de l’annuité constante

i        : le taux d’intérêt correspondant à la période retenue

n       : le nombre d’annuités

A_n     : Valeur acquise au moment du versement de la dernière annuité.

A_n apparaît comme étant la somme des valeurs acquises par chacun des versements :

Versement	Valeur acquise
1	a (1 + i)n-1
2	a (1 + i)n-2
……	…..
n – 2	a (1 + i)2
n – 1	a (1 + i)
n	a

         D’où                    A_n = a + a (1 + i) + a (1 + i)² + … + a (1 + i)^n-1

                            A_n = a [1 + (1 + i) + (1 + i)² + … + a (1 + i)^n-1]

                                                                          qⁿ – 1

         On sait que 1 + q + q² + ….. + q^n-1 =                 avec q ¹ 1

                                                                           q – 1

         En posant q = (1 + i) on trouve :

                                              

                                                              a (1 + i)ⁿ - 1

                                               A_n =

                                                                (1 + i) – 1

         On encore

                                                              a (1 + i)ⁿ - 1

                                               A_n =                               (formule de capitalisation)

                                                                      i

Remarque :

1)    On applique cette formule quand on se situe au moment du dernier versement.

2)    Ici le nombre n indique à la fois l’époque à laquelle on évalue la suite d’annuités, et le nombre de versements.

                                                              a (1 + i)ⁿ - 1

                                               A_n =

                                                                       i

                                         indique l’époque à                indique le nombre d’annuités

                                 laquelle on évalue la suite

Il ne faut jamais oublier que le nombre de versements est un nombre entier. 1)    Le dernier versement ne rapporte pas d’intérêt et à ce titre la formule qu’on a fait apparaître ne permet pas de résoudre directement les problèmes se rapportant à la constitution de capitaux. Il s’agit là d’une étape provisoire pour les calculs. Les exemples ci-après ont pour objet de manipuler la formule :                                                               a (1 + i)n - 1                                                An =                                                                        i Exemple 1 :          Calculer la valeur acquise, au moment du dernier versement, par une suite de 15 annuités de 35 000 dh chacune. Taux : 10% l’an.                                                                              1,115- 1                                                A15 = 35 000                         = 1 112 036,86 dh                                                                                 0,1 Remarque : 1-    La table financière n°3 donne les valeurs acquises d’une suite d’annuités de 1 dh. Dans l’exemple, au croisement de la ligne correspondant à n = 15 et de la colonne correspondant au taux de 10%. on lit :                                                    1,115- 1                                                                  = 31,7724817                                                              0,1          En multipliant par 35 000 on trouve :                                       A15 = 1 112 036,86 dh 2-    Les intérêts produits par les différents versements peuvent être calculés. I = 1 112 036,86 – 15 x 35 000 = 587 036,86 dh Exemple 2 :          Combien faut-il verser à la fin de chaque semestre pendant 8 ans, pour constituer, au moment du dernier versement, un capital de 450 000 dh. Taux semestriel : 4,5%.                             Ici on inverse la formule :                                                               a (1 + i)n - 1                                                An =                /               Û   a = An            i                                                                        i                                              /                                                                                                                 (1 + i)n - 1                                                a = 450 000     0 045        = 19 806,96 dh                                                                            /                                                                        1,04516 – 1 Remarque : 1-    Ici on a appliqué le même schéma que celui des annuités ; cela ne pose aucun problème puisque le taux correspond à la période. 2-    En inversant la formule donnant la valeur acquise par la suite d’annuité on n’obtient pas une valeur actuelle mais le montant de l’annuité. Exemple 3 :          Par le versement de 10 annuités de 18 000 dh chacune on constitue, au moment du versement du 10ème terme, un capital de 300 000 DH. Trouver le taux de capitalisation.                    On a :                            300 000 = 18 000 (1 + i)10 – 1                                                                                                                      i                    Ce qui donne :                                             (1 + i)10 – 1                                                                    = 16,6666667                                                     i          Par tâtonnement puis par interpolation linéaire on trouve t = 10,93 %.          En effet :                             16,521 9938                                              10,75                             16, 6666667                                                    t                             16, 7220090                                                  11          D’où                                                16,6666667 – 16,5219938                                   t = 10,75 + 0,25                                                  = 10,93                                                            16,7220090 – 16,5219938                                       Soit 10,93 % l’an Remarque : Pour ce type de problème il est recommandé de recourir à la table financière ; en effet on trouve directement l’intervalle d’interpolation. Exemple 4 :          Par le versement de n annuités de 32 000 dh chacune on constitue un capital de 384 000 DH. Taux : 9 % l’an. Trouver n.                         On peut écrire :                                                                                                                                                  1,09n - 1                    384 000 = 32 000                                                                                           0,09 Ce qui donne :                                                         1,09n - 1                                                         = 12                                        0,09 Ou encore :                    Par logarithmes on trouve : n » 8,5 Comme n doit être nécessairement entier on prendra n = 8 ou n = 9 1er cas : n = 8 * 1ère solution : on modifie toutes les annuités :     0,09 a = 384 000                 = 34 818,96 dh  1,098 – 1 * 2ème solution : on modifie uniquement la dernière annuité, celles-ci est majorité d’un montant m :                   1,098 - 1 m = 384 000 – 32 000                   = 31 088,84 dh                                                                                                   0,09 2ème cas : n = 9 * 1ère solution : on modifie toutes les annuités :     0,09 a = 384 000                 = 29 490,74 dh  1,099 – 1 * 2ème solution : on modifie uniquement la dernière annuité, celles-ci diminuée d’un montant d :   1,099 - 1 d = 32 000                    - 384 000   = 32 637,17 dh                                                                                   0,09          Cette solution n’est pas acceptable car on dépasse le montant de l’annuité. Remarque :          En fait aucune des propositions avancées ne répond exactement au problème posé, et à ce titre le problème semble ne pas admettre de solution. Il existe pourtant une solution satisfaisant les données du problème mais il faut se situer après le dernier versement. En effet, pour n = 8, le capital constitué au moment du dernier versement s’élève à 352 911,16 dh ; placé pour une durée égale à c, cette somme acquiert la valeur de 384 000 dh : 384 000 = 352 911,16 x 1,09c Par logarithme on trouve c = 353 jours          Nous avons, en définitive, 8 annuités de 32 000 dh chacune, le capital de 384 000 dh est constitué 11 mois et 23 jours après le dernier versement. B- Capital constitué par une suite d’annuités constantes à une date postérieure au dernier versement :          Ici le versement de la dernière annuité a un ses puisque celle-ci rapporte, au même titre que les autres annuités, des intérêts. Pour le calcul de la valeur acquise il importe de se situer, d’abord, au moment du dernier versement, ensuite, on utilise, suivant les cas, soit les intérêts simples, soit les intérêts composés. Exemple 1 :          Une personne place auprès d’un organisme la capitalisation des annuités de        25 000 dh chacune.          Taux : 10,5 % l’an. Date du 1er versement : 31/12/2004          Date du dernier versement : 31/12/2014.          Calculer le capital constitué au : ·     31/12/2014 ·     31/05/2015 (présenter deux solutions) ·     31/12/2015     ®Au 31/12/2014 on applique directement la formule de capitalisation :                                 1,10511 - 1           A11 = 25 000                           = 475 966,51                                0,105 ® Pour le 31/05/2015 on situe 5 mois après le dernier versement, ici on utilise soit la solution rationnelle, soit la solution commerciale :      * solution rationnelle               A115/12 = A11(1 + 5 / 12 x 0,105) = 496 790,04 dh      * solution commerciale               A115/12 = A11 x 0,1055/12 = 496 185,43 dh     ®Au 31/12/2015 on a               A12 = A11 x 0,105 = 525 942,99 dh Remarque :          Il est important de bien faire attention ici, on a que 11 versements. Exemple 2 :          Un capital de 300 000 dh doit être constitué, deux ans après le dernier terme, par le versement de 10 annuités de montant a chacune. Taux 9,5 % l’an.          Calculer a.          L’égalité s’écrit :                                                                          1,29510 - 1                                                300 000 = a                        x 1,0952                                                                              0,095                                                                              0,095                                                a = 300 000                        x 1,095-2 = 16 079,60 dh                                                                           1,09510 – 1 C – Cas ou le taux ne correspond pas à la période :          Ici on utilise soit les taux proportionnels, soit les taux équivalents. Exemple :          Un particulier place, auprès d’un organisme de capitalisation, 40 trimestrialités de montant 10 000 dh chacune. Calculer le capital constitué au moment du dernier versement.          Taux : 9 % l’an.          ® Utilisation des taux proportionnels :                    it = 0,09/4 = 0,0225 soit 2,25 % par trimestre          La valeur acquise s’écrit :                                      1,022540 – 1          A40 = 10 000                            = 637 861,76 dh                                           0,0225          ® Utilisation des taux équivalents :                    it = 1,091/4 – 1 = 0,02144818 soit 2,18 % par trimestre                                 1,0217781840 – 1          A40 = 10 000                                 = 627 859,45 dh                                      0,02177818 Remarque : 1-                Avec le procédé des taux équivalents on peut se ramener, ici, à un schéma d’annuités ; en effet le capital A40 peut être constitué par le versement de 10 anuités constantes ; chacune d’elles apparaît comme étant la valeur acquise par 4 trimestrialités de 10 000 dh chacune : 1,021778184 – 1     a = 10 000                               = 41 325,77 dh                           0,02177818                                                        1,0910 - 1 Ce qui nous donne A40 = 10 000                      = 627 859,52 dh                                                              0,09 (Ou encore A40 = 627 859,45 dh si l’on prend pour l’annuité à tous les chiffres après la virgule). 1-                Dans la pratique les organismes financiers utilisent généralement les taux équivalents pour ce type d’opération. 1-2-2- Valeur actuelle : A- Valeur actuelle à l’origine :          La situation peut être schématisée comme suit :                                                                                                     A0 ¬ 0                  a                  a                                               a                                                                                                                        i                                1                  2                                               n        Ici on cherche à évaluer la suite d’annuités à la date 0 (c-à-d à l’origine de la suite).                                                                            (1 +i)n -1                    A la date n on a :           An = a                                                                                    i                    A la date 0 on aura :     A0 = An  (1 +i)-n                                                                          (1 +i)n -1                       Ou encore :                   An = a                    (1 +i)-n                                                                                 i            1 – (1 + i)-n A0 =                    i                      Ce qui donne :                                                 Formule d’actualisation   Remarque : 1-    On applique cette formule quand on se situe une période avant le premier versement. 2-    La situation peut être celle d’un crédit (bancaire ou autre) de montant A0 et remboursable par le versement de n annuités de montant a chacune. Si n est grand alors le terme (1 + i)-n peut être négligé dans ce cas on aura : A0 » a / i. Par exemple pour n = 40 et i = 0,1 on a :                                  1 – 1,1-40                                                    = 9,98 ® valeur qui ne s’éloigne pas trop de 1/10,1 = 10                                      0,1          Les exemples ci-après ont là également, pour objet de manipuler la formule :   Exemple 1 :          Calculer la valeur à l’origine d’une suite de 12 annuités de 32 500 dh chacun. Taux d’escompte : 8,5% l’an.                   1 – 1,085-12     A0 = 32 500                               = 238 702,30 dh                                0,085 Remarque :                                                                      1 – (1 + i)-n 1-    La table n°4 donne les valeurs de                                                                    i                    1 – 1,085-12 Ici on lit :                         = 7,3446861                       0,085 2-    Les intérêts versés à l’occasion de cette opération d’escompte, peuvent être calculés : I = 12 x 32 500 – 238 702,30 = 151 297,70 dh. Exemple 2 :          Combien faut-il payer à la fin de chaque année de l’emprunt pour rembourser une dette de 350 000 dh, par le versement de 14 annuités constantes ? Taux d’escompte : 70,5% l’an.          Ici on inverse la formule d’actualisation :                         1 - (1 + i)-n                              i          a0 = a                          Û a = A0                                  i                               1 - (1 + i)-n                                   0,105          a = 350 000                      =  48 813,31 dh                                1 – 1,105-14 Remarque : La table n°5 donne les valeurs de i/ 1 – (1 + i)-n A partir de cette table on écrit : a = 350 000 x 0,1394666 = 48 813,31 dh Exemple 3:          Une suite de 10 annuités de 25 000 dh chacune a une valeur à l’origine de        140 000 dh trouver le taux.                                                1 - (1 + i)-10                                                25 000                            = 140 000                                                                                   i                                                      1 - (1 + i)-10                                  Ce qui donne :                             = 5,6                                                                                   i             Par tâtonnement on trouve :                             5,5928671                                       12,25                                   5,6                                             t                             5, 6502230                                      12          D’où                                                           5,6 – 5,592                                  t = 12,25 - 0,25                                                  = 12,22                                                              5,6502230 – 5,5928671                                       Soit 12,22 % l’an Remarque 4 : Une suite de n annuités de 40 000 dh chacune a une valeur actuelle, un  an avant le premier versement de 170 000 dh Taux d’escompte : 12% l’an. Trouver n. Ici on a :                                                   1- 1,12-n                               40 000                      = 170 000                                                 0,12          Ce qui donne 1,12-n = 0,49          Par logarithmes on trouve : n » 6,29          Cette valeur n’est pas entière et à ce titre le problème n’admet pas de solutions strictes. On peut toutefois modifier « légèrement » les annuités. 1er cas : n = 6          * 1ère solution : on modifie toutes les annuités :                                                              0,12                               A = 170 000                      = 41 348,37 dh                                                       1- 1,12-6          * 2ème solution : on modifie uniquement la dernière annuité à laquelle on ajoute un complément X A la date 0 on a :                                                                     1- 1,12-6                               170 000 = 40 000                      + X (1,12-6)                                                                    0,12                            X = 10 942,29 dh. 2ème cas : n = 7          * 1ère solution : on modifie toutes les annuités :                                                              0,12                               a = 170 000                      = 37 250,02 dh                                                       1- 1,12-7          * 2ème solution : on diminue la dernière annuité d’ un montant y. A la date 0 on a :                                                                     1- 1,12-7                               170 000 = 40 000                      + y (1,12)-7                                                                    0,12                            y = 27 744,63 dh.               La 7ème annuité ne sera que de 12 255,37 dh Remarque : Ici on ne peut pas jouer sur la date à laquelle on se situe pour évaluer la suite puisque, dans les énoncés, la valeur actuelle est une valeur actuelle à l’origine de la suite. Si on ne respecte pas cette contrainte alors on peut trouver des solutions intéressantes. Prenons le cas ou n = 6. A la date 0 on aura :                                                1 – 1,12-6       A0 = 40 000                      = 164 456,29 dh                                 0,12          Pour avoir une valeur de 170 000 dh il faut se situer après la date 0 :                                                170 000 = 164 456,29 x 1,12c          Ce qui donne c = 105 jours, cette solution est acceptable puisqu’on se situe toujours avant le 1er versement. Pour n = 7 on aura à la date 0 :                                                                                  1 – 1,12-7                                                         A0 =  40 000                      = 182 550,26 dh                                                                                          0,12          On a donc une valeur de 170 000 dh à une date antérieure à la date 0 :                                                         182 550,26 = 170 000 x 1,12y                                                         Ce qui donne : y = 226 jours          Soit 7 mois et 16 jours avant la date 0.          Ces développements nous semblent intéressants dans la mesure où ils indiquent que pour actualiser une suite d’annuités rien n’oblige à se situer à l’origine. B – Valeur actuelle à une date quelque :          Le schéma des annuités de fin de période suppose que l’on retienne pour la valeur actuelle l’origine de la suite, cependant on peut se référer, pour l’actualisation, à toute autre date, pourvu que celle-ci soit antérieure à la première annuité. On peut donc se situer p périodes (p entier ou fractionnaire mais positif) avant le 1er versement. Trois cas peuvent se présenter.                    * 0 < p < 1 alors la suite est dite anticipée d’un temps (1 - p).                    * p = 1 alors la suite est dite immédiate.                    * p > 1 alors la suite est dite différée d’un temps (p - 1).          La situation se présente comme suit : Suite anticipée :                                                  a                               a                              a                                                                                                                                    i               0                (1 - p)         1                          2                                  n                                                            p          On actualise à l’époque (1 - p) soit p période avant le 1er versement. Suite immédiate :                                                a                               a                                  a                                                                                                                                   i              0                               1                               2                                  n                                                            p = 1         On actualise à la date 0 ; c’est le schéma classique. Suite différée :                                P                                                        a                          a                                  a                                                                                                                                    i (p - 1)                  0                     1                           2                                  n                              On actualise à l’époque (p - 1) soit p période (s) avant le 1er versement. Exemple :          Une dette de 345 000 dh est remboursable par le versement de 8 annuités constantes. Taux : 12,5% l’an. Calculer le montant de l’annuité dans chacune des situations suivantes : a-     la première annuité est payable dans 3 mois. b-    la première annuité est payable dans 1 an. c-     la première annuité est payable dans 18 mois. a-     Ici on se situe à l’époque 9/12, la suite est anticipée de 9 mois. Par rapport au cas classiques où le 1er versement s’effectue une période après la date du contrat, ici on anticipe de 9 mois :                                                  a                              a                                a                                                                                                                                    12,5% Origine 0                   9/12         1                          2                                  8                                              date du contrat  3/12                             A la date 9/12 on a :                                                1 – 1,125-8                              345 000 =                       x 1,1259/12                                                       0,125                                                                   a1 = 64 692,35 dh b-    Le 1er paiement à lieu dans 1 an (une période), la suite est immédiat ; la date du contrat coïncide avec l’origine.                                                     1 – 1,125-8                              345 000 = a2                                                                                0,125                                       a2 = 70 667,10 dh. a-     Ici le 1er versement est reculé de 6 mois (on a un différé de 6 mois) : -1/2           0                      a                          a                                  a                                                                                                                                                                                      12,5%                               18 mois          2                          3                                  8                                 date           origine               du contrat                      A la date -1/2 on a :                                                    1 – 1,125-8                              345 000 = a3                       x 1,125-1/2                                                            0,125                                                                   a3 = 74 953,78 dh Remarque : On a bien : a3 < a2 < a1 En effet ; par rapport aux annuités immédiates, il y a 9 mois d’intérêts qui se retranchent dans le 1er cas et 6 mois d’intérêts qui s’ajoutent dans le dernier. C- Le taux d’intérêt ne correspond pas à la période :          Là également on utilise l’un des deux procédés de transformation des taux : soit les taux proportionnels, soit les taux équivalents. Exemple :          Une dette de 225 000 dh est remboursable par le versement de 60 mensualités constantes. Taux : 11,5% l’an. Sachant que le paiement du 1er versement a lieu dans un mois, calculer le montant de la mensualité de remboursement. 1er procédé : utilisation des taux proportionnels,           0,115 im =               = 0,0095883             12                           0,0095833 D’où                    a = 225 000                               = 4 948,33 dh                                           1 – 1,0095833-60  2ème procédé : utilisation des taux équivalents, im = 0,1151/12 – 1 = 0,0091125   0,0091125 D’où                    a = 225 000                                  = 4 884,75 dh                                           1 – 1,00951125-60  Remarque : Généralement les organismes de crédit utilisent, pour ce genre de situation, les taux proportionnels. 1-3- Annuités constantes de début de période : 1-3-1- Définition :          Les versements ont lieu au début de chaque période :             a                      a                         a                                              a                      Bn                                                                                                                                             i              0                        1                      2                                            n -  1                  n  Remarque :                  L’étude des annuités de début de période ne présente pas de différences majeures par rapport à celle des annuités de fin de période. En effet par un simple changement d’origine on se ramène au schéma des annuités de fin de période. fin de période :                                    a                         a                                              a                      a                                                                                                                                             i              0                        1                      2                                            n -  1                  n Début de période :             a                      a                         a                                              a                                                                                                                                                                  i              0                        1                      2                                            n -  1                  n Remarque :                  Il importe donc, au niveau des formules, de tenir compte du décalage d’une période. 1-3-2- Valeur acquise :          Ici on se situe une période après le dernier versement d’où :   (1 + i)n – 1 Bn =                      x (1 + i)                    i                                                    1 période après Au moment du dernier versement Exemple :          Calculer le capital constitué un an après le dernier versement, par une suite de 12 annuités de 27 500 dh chacune. Taux : 9 % l’an.                        1,00912 – 1                             B12 = 27 500                      x 1,09 = 603 718,08 dh                                                            0,09 Remarque :                   Ce schéma traduit mieux la réalité puisque généralement, dès la signature du contrat, un premier versement est effectué, le capital est alors constitué à la fin de la nème année (soit une période après le dernier versement). 1-3-3- Valeur actuelle :          Ici se situe au moment du 1er versement :   a 1 – (1 + i)-n B0 =                            (1 + i)          i                                        1 période après (ce qui nous                   1er période après le 1er versement            ramène au moment du 1er versement Exemple :          Calculer la valeur actuelle, au moment du versement du 1er terme, par une suite de 15 annuités de 31 000 dh chacune. Taux d’escompte : 12,5 % l’an.                        1- 1,125-15                             B0 = 31 000                        x 1,125 = 231 322,18 dh                                                            0,125 Remarque :                  Ce schéma ne convient pas au remboursement de dettes. En effet le 1er versement est trop anticipé pour que celui-ci ait un sens. 1-4- Annuit2s en progression arithmétique, annuités en progression géométrique :          Ici on adoptera le schéma des annuités de fin de période. Pour se rapporter aux annuités de début de période, là également, on introduit un décalage d’une période (ce qui revient à multiplier par (1 + i)). 1-4-1- Annuités en progression arithmétique :          L’annuité augmente chaque période d’un montant r constant (si r est négatif alors il s’agit d’une diminution).                            a                   a + r                      a + 2r                             a (n - 1)r                                                                                                                                    i     0                      1                      2                         3                                         n Valeur acquise :    Valeur actuelle:          En multipliant le terme précédent par (1 + i)-n on obtient la valeur actuelle une période avant le 1er versement :                      (a + r) 1 - (1 + i)-n        nr A0 =                                  –          (1 + i)-n                   i           i                 i Exemple :          Calculer la valeur actuelle d’une suite de 10 annuités en augmentation de 10 000 dh par an et de premier terme 25 000 dh. Taux : 8 % l’an.                                                         (25 000 + 10 000) 1,0810 - 1        10 x 10 000 A0 =                                                   –                                                                          0,08          0,08                0,08                                       A0 =  922 984,37 dh                                       A0 =  A10 (1,08)-10 =  427 520,35 dh 1- 4-2- Annuités en progression géométrique:          On passé d’une annuité à la suivante en multipliant par une constant q (avec q¹ 1)                            a                   a q                      a q2                             a qr                                                                                                                                    i     0                      1                      2                         3                                         n Valeur acquise :                                                 (1 + i)n -  (1 + r)n An =  a              /                                     i – r Valeur actuelle:          En multipliant dans la formule précédente par (1 + i)-n on obtient :          (1 + i)n x (1 + r)-n An =  a             /                                        i – r Valeur actuelle 1 période avant le 1er versement          Sinon A0 = na (1 + i)-1        si      i = r Exemple :          Calculer la valeur acquise et la valeur actuelle d’une suite de 10 annuités en augmentation de 7 % par an et de premier terme 22 000 dh. Taux d’intérêt : 9 % .                                                                        1,0910 – 1,0710        A10 =  22 000          /                         =  440 233,65 dh                                                                          0,09 – 0,07                                                                                              A0 =  A10 (1+ i)-10 =  185 959,41 dh Remarque :                  Calculons les intérêts contenus dans A10. Le capital placé s’élève à : C = 22 000 + 22 000 x 1,07 + … + 22 000 x 1,079                                                                        1,0710 – 1        C =  22 000                               =  303 961,86 dh                                                                              0,07                                           D’où l’intérêt :                                                         I = 136 271,69 dh Exemple :          Calculer la valeur acquise d’une suite de 6 annuités en augmentation de 8 % l’an et de premier terme 31 000 dh. Taux d’intérêt : 8 % l’an.                                                                                          A6 =  6 x 31 000 x 1,85  =  273 295,02 dh 5-5- Problèmes d’équivalence :          ® On peut remplacer une suite d’annuités par un capital unique ; ce qui revient à évaluer la suite à une date quelconque. Exemple :          Un achat peut être réglé :          * en 6 annuités constantes de 20 000 dh chacune, la première étant payable un an après la date d’achat.          * ou en un seul versement, 3 ans après la date d’achat. Taux d’escompte : 12 %.          Calculer la valeur nominale de ce versement unique.                    A la date 0 on a :                                                                            1 – 1,12-6                                                         20 000               /                     = A3 x 1,12-3                                                                                0,12                                                Ce qui donne : A3 = 115 524,63 dh. Remarque :                  1) On peut également déterminer l’échéance moyenne d’une suite d’annuités. A la date 0 on a :     1- (1 + i)-n a           /          = na (1 + i)-c            i                                    ni D’où  (1 + i)c =                              1 - (1 + i)-n          Par logarithmes (où par interpolation linéaire sur la table n°1) on détermine l’échéance c.          L’échéance moyenne des 6 annuités de l’exemple précédent serait :                                                                             6 x 0,12                                                              1,12c =         /                    = 1,4593543                                                                             1 – 1,12-6          Ca qui donne c = 3 ans et 121 jours soit 3 ans, a mois et 1 jours après la date d’achat.          2) On peut également remplacer une suite d’annuités par une autre suite d’annuités. Exemple :          Pour un fonds de commerce on a le choix entre :           * verser 8 annuités de 40 000 dh chacune, la première étant payable dans un an,          * on verser 14 semestrialités constantes, la première étant payable dans 18 mois.          Taux d’escompte : 12,5 % l’an.          Calculer le montant de la semestrialité pour que les deux modes de règlements soient équivalents.          On calcule le taux semestriel équivalent au taux annuel de 12,5 %.                                                   is = 1,1251/2 – 1 = 0,0606602                             A la date 0 on a :                                                       1 – 1,125-8           1 – 1,0606602 -14                                       40 000              /         = a              /                     x (1,125) -1                                                           0,125                     0,0606602                                                                a = 23 732,26 dh.