Mathématiques financières TCEII

Exercice 1 :

Le 31 10 95 un particulier s'engage, auprès d'un organisme de capitalisation, à verser 12 annuités de 32 500 dh chacune.

Travail à faire :

Sachant que le taux de 9 % l’an et que le premier versement doit être effectué le 31/10/96, calculer le capital constitué :

a- au 31/10/2007

b- au 31/03/2008

c- au 31/10/2009

d- au 31/10/2010

Exercice 2 :

On place 8 annuités constantes de 17 500 dh chacune ; au moment du dernier versement le capital constitué s’élève à 190 000 dh.

Travail à faire :

Trouver le taux.

Exercice 3 :

Combien d’annuités de 20 000 dh chacune, faut-il placer, pour disposer au moment du dernier versement d’une valeur acquise de 300 000 dh ? Taux : 9,5 % l’an.

Exercice 4 :

Calculer, au moment du dernier versement, la valeur acquise de 28 trimestrialités de 5 000 dh chacune, capitalisées à 8 % l’an. Donnez 3 solutions.

Exercice 5 :

Une personne place à la fin de chaque trimestre des sommes constantes de 8 000 DH chacune. Date du 1^er versement : 31/03/2005 ; date du dernier versement : 31/12/2008.

Taux : 9 % l’an ; on utilise alors les taux proportionnels.

Travail à faire :

Calculer la valeur acquise :

1- au 31/12/2008

2- au 28/02/2009 (solution rationnelle).

Solution :

Exercice 1 :

a) Ici on se situe au moment du denier versement :

₁₂

A₁₂ = 32 500 1,09 - 1 = 654 573,39

0,09

b) On distingue ici deux solutions :

* Solution rationnelle :

A_12+5/12 = A₁₂ (1+5/12 x 0,09) = 679 119,90 dh

* Solution commercielle :

A_12+5/12 = A₁₂ x 1,09^5/12 = 678 504,48 dh

c) Au 31/10/2009 on a :

A₁₄ = A₁₂ x 1,09² = 777 698,65 dh

d) Au 31/10/2010 on a :

A₁₅ = A₁₂x 1,09³ = 847 691,53 dh

Exercice 2 :

17 500 (1+i)⁸ – 1 = 190 000

D’où (1-i)⁸ – 1 = 10,85714286

en utilisant la table n°3 (ou en tâtonnant on trouve t proche de 8,5%) :

10,8306393 8,5

10,8571426 t

10,9290744 8,75

Par interpolation linéaire on trouve t = 8,57 soit 8,57% l’an.

Exercice 3 :

20 000 1,095 – 1 = 300 000

0,095

Ce qui donne 1,095 = 2,425

Par logarithmes on trouve n = 9,76

Comme ici on se situe au moment du dernier versement le problème n’admet de solutions strictes. En effet pour obtenir n entier il importe d’apporter quelques modifications :

1^er cas : n = 9 :

* 1^ère solution : on modifie toutes les annuités :

a = 300 000 0,095 = 22 561,36 dh

1,095⁹ – 1

* 2^ème solution : on majore la dernière annuité d’un montant x :

x = 300 000 – 20 000 1,095⁹ – 1 = 34 058,62 dh

0,095

2^ème cas : n = 10 :

* 1^ère solution : on modifie toutes les annuités :

a = 300 000 0,095 = 19 279,85 dh

1,095¹⁰ – 1

* 2^ème solution : on majore la dernière annuité d’un montant y :

y = 20 000 1,095¹⁰ – 1 – 300 000 = 11 205,81 dh

0,095

La dernière annuité sera de 8 794,19 dh seulement.

Remarque :

La valeur acquise de 300 000 dh peut être obtenue à partir de versements égaux à 20 000 dh mais il faut se situer après le dernier versement. Ainsi pour n = 9 le capital de 300 000 dh est constitué x période après le dernier terme :

300 000 = 20 000 1,095⁹ – 1 x 1,095

0,095

Ce qui donne X = 1,27832 soit 1 ans, 3 mois et 28 jours.

Exercice 4 :

* 1^ère solution : on utilise les taux équivalents :

i = 1,08^1/4 – 1 = 0,019426546

a₂₈ = 5 000 1,019426546²⁸ - 1 = 183 723,92 dh

0,019426546

* 2^ème solution : on utilise les taux proportionnels :

i = 1,08 = 0,02

a₂₈ = 5 000 1,02²⁸ - 1 = 185 256,05 dh

0,02

* 3^ème solution :

On scinde la suite des 28 trimestrialités en 4 suites d’annuités

5 000 5 000 5 000 5 000 5 000 5 000 5 000

0 5 9 13 17 21 25

A la date 28 on a :

B₂₈ = 5 000 1,08⁷ – 1 (1 + 3/4 x 0.08) = 47 290,86 dh

0,08

5 000 5 000 5 000 5 000 5 000 5 000 5 000

2 6 10 14 18 22 26

A la date 28 on a :

C₂₈ = 5 000 1,08⁷ – 1 (1 + 1/2 x 0.08) = 46 398,58 dh

0,08

5 000 5 000 5 000 5 000 5 000 5 000 5 000

3 7 11 15 19 23 27

A la date 28 on a :

D₂₈ = 5 000 1,08⁷ – 1 (1 + 1/4 x 0.08) = 45 506,30 dh

0,08

5 000 5 000 5 000 5 000 5 000 5 000 5 000

4 8 12 16 20 24 28

A la date 28 on a :

E₂₈ = 5 000 1,08⁷ – 1 = 44 614,30 dh

0,08

En faisant la somme on obtient la valeur acquise demandée :

A₂₈ + B₂₈ + C₂₈ + D₂₈ + E₂₈ = 183 809,75

Remarque :

Au niveau de la 3^ème solution on a utilisé pour les parties fractionnaires la solution rationnelle. Par ailleurs cette troisième solution pourrait être calculée directement :

D₂₈ = 5 000 1,08⁷ – 1 [4 + 0,08 (1/4 + 2/4 +3/4)] = 183 809,75

0,08

Exercice 5 :

Ici on a :

8 000 8 000 8 000