Statistique TP

Exercice 1 :

Une enquête en vue de la réduction du montant des allocations familiales, a été réalisée auprès d’une population de femmes de 40 ans. Cette enquête a donné les résultats suivants :

Nombre d’enfants (x_i)	Nombre de femmes (n_i)
0	10
1	20
2	20
3	30
4	20

Travail à faire :

1- Caractériser la distribution.

2- Tracer le diagramme différentiel.

3- Définir et représenter la fonction de répartition (diagramme cumulé).

4- Donner la proportion des femmes ayant moins de 4 enfants.

5- Etablir la distribution des enfants selon le nombre de leurs frères et sœurs.

Exercice 2 :

Un organisme chargé d’enquête et de sondage a réalisé une enquête, pour le compte d’un syndicat, sur le nombre de salariés de 40 entreprises industrielles d’une région à forte rentabilité économique. Le dépouillement des questionnaires a donné les résultats suivants

32	58	59	52
51	30	52	50
82	53	24	59
90	61	55	22
32	58	59	52
51	30	52	50
82	53	24	59
90	61	55	22
32	58	59	52
51	30	52	50

Travail à faire :

1- Définir la population (ensemble statistique), l’unité statistique (individu), le caractère et ses différentes modalités.

2- A partir des données de l’enquête, établir la distribution des entreprises selon le nombre de salariés. Pour ce faire, on définit 5 classes de valeur de la variable d’amplitudes respectives : 20, 10, 10, 20, 20. La borne inférieure de la distribution est fixée à 20 et la borne supérieure à 100.

3- Tracez le diagramme différentiel.

4- Définir la fonction de répartition et tracer le diagramme intégral (courbe cumulative).

Exercice 3 :

On relève chaque jour les températures extérieures en degré Celsius à sept heures, sous abri, en un lieu donné et on classé les résultats obtenus en une année.

Classes	Effectifs
] -10,-5 ]	15
]-5,0 ]	28
]0,+5 ]	65
]5,10 ]	82
]10,15 ]	86
]15,20 ]	58
]20,25 ]	31

Travail à faire :

1- Déterminer le polygone statistique des fréquences par classe

2- En donner une représentation par secteurs.

Déterminez et représentez la fonction de répartition des fréquences.

Solution

Exercice 1 :

1- Population : 100 femmes de 40 ans ; unité statistique : une femme ; caractère : le nombre d’enfants (caractère quantitatif discret) ; modalités : au nombre de 5 (0, 1, 2, 3, 4).

2- La distribution statistique étant discrète, le diagramme différentiel est un diagramme en bâtons. Dans ce diagramme, on porte en abscisse les différentes modalités du caractère c'est-à-dire les différentes valeurs prises par la variable (0, 1, 2, 3, 4) ; en ordonnée seront indiqués soit les effectifs soit les fréquences relatives afférentes à chaque modalité.

Nombre d’enfants x_i	Effectif n_i	Fréquence relative f_i
0	10	0,1
1	20	0,2
2	20	0,2
3	30	0,3
4	20	0,2
Total	100	1

2- La fonction de répartition d’une variable X notée X notée F est une application de l’ensemble IR dans l’ensemble IR, qui à toute valeur donnée x de IR, associe le nombre d’individus appartenant à la population pour lesquels la valeur de la variable est strictement inférieure à x.

En termes de proportion, la fonction de répartition est une application de l’ensemble IR dans l’intervalle [0,1], qui à toute valeur donnée x de IR, associe la proportion des individus appartenant à l’ensemble statistique pour lesquels la valeur de la variable est strictement inférieure à x.

Nombre d’enfants x_i	Effectif cumulé N_i	Fréquence cumulée f_i
0	10	0,1
1	30	0,3
2	50	0,5
3	80	0,8
4	100	1

4- La proportion des femmes ayant moins de 4 enfants se lit directement dans le tableau : 0,8 ou 80%.

5- A partir de la distribution précédente, il faut construire une nouvelle distribution des enfants selon le nombre de leurs frères et sœurs. La variable x’_i (nombre de frères et de sœurs) prend les valeurs i = 1, 2, 3.

L’effectif correspondant est alors déterminé par les produits n_i.x_i.

Nombre de frères et sœurs (x’_i)	Nombre d’enfants (n_i.x_i)
1	40
2	90
3	80

Exercice 2 :

1- L’ensemble statistique est constitué par les 40 entreprises enquêtées.

L’unité statistique objet de l’observation est l’entreprise. Le caractère, le nombre de salariés, est un caractère quantitatif. Les modalités sont les valeurs prises par le caractère, elles s’échelonnent de 20 à 99.

2- Les données brutes issues de l’enquête sont discrètes. En effet à chaque unité statistique correspond un effectif entier spécifique de salariés. La transformation en distribution continue répond à plusieurs préoccupations : simplification, clarté des représentations graphiques. Il est à noter que cette transformation engendre une perte d’information par rapport aux données brutes.

Nombre de salariés x_i	Nombre d’entreprises n_i
]20,40 ]	8
]40,50 ]	8
]50,60 ]	12
]60,80 ]	8
]80,100 ]	4

3- La distribution étant continue, le diagramme différentiel est un histogramme :

x_i	n_i	a_i	a’_i = a_i/u	d’_i = n_i/ a’_i
]20,40 ]	8	20	2	4
]40,50 ]	8	10	1	8
]50,60 ]	12	10	1	12
]60,80 ]	8	20	2	4
]80,100 ]	4	20	2	2

Les classes de valeur de la variable possèdent des amplitudes différentes, il convient donc de rectifier les effectifs ou les fréquences en vue de la représentation graphique. Le PGCD des amplitudes a pour valeur 10. Cette valeur constitue l’unité (u = 10) dans laquelle sont exprimées les amplitudes des 5 classes. L’amplitude de la classe i a pour nouvelle valeur : a’_i = a_i/u. On calcule ensuite la densité d’effectif u de fréquence

d’_i = n_i/a’_i ou d’_i = f_i/a’_i. ces valeurs sont portées sur l’axe des ordonnées.

4- Le diagramme intégral est la courbe des fréquences cumulées croissantes, représentative de la fonction de répartition. Cette courbe est en fait une ligne brisée

x_i	n_i	n_i	f_i
]20,40 ]	8	8	0,2
]40,50 ]	8	16	0,4
]50,60 ]	12	28	0,7
]60,80 ]	8	36	0,9
]80,100 ]	4	40	1

Exercice 3 :

Classes	Effectifs	Fréquence	Fonction de répartition des fréquences
] -10,-5 ]	15	0,042	0,042
]-5,0 ]	28	0,076	0,118
]0,+5 ]	65	0,178	0,296
]5,10 ]	82	0,225	0,521
]10,15 ]	86	0,235	0,756
]15,20 ]	58	0,159	0,915
]20,25 ]	31	0,085	1,000
Total	365	1,000