Calculs commerciaux TP

I- rapports et proportions

1- Rapport
Le rapport d’un nombre (a) à un autre nombre (b) est le quotient (K) de ces deux nombres


           a
                  =  K
           b
 
/
Exemples
                                                       32
·        Le rapport de 32 à 8 est :                =   4
                                               8
                                                       13
·        Le rapport de 13 à 2 est :       /         =   6,5
                                               2

2- Proportion
         La proportion est l’égalité formée de deux rapports
           a             c
             /     =     /
           b             d 
 


      

Exemples
             4           16
   /       =    /
  7            28

          
Dans la proportion      a        =    c        , les nombres : - a et b sont appelés les extrêmes
                         /   b             /d                                 - b et c sont appelés les moyens

3- Propriétés des proportions
         Lorsqu’on dispose d’une proportion, on peut effectuer différentes transformations.

3- 1- Dans toute proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens.

     a             c
     /       =     /
    b             d
 
 

Soit                                 .
 a/b = c/d
Réduisons les deux fractions au même dénominateur commun (b x d) : 
. Il reste alors 
a x d = c x b
3-2- Disposant de quatre nombres tels que le produit de deux d’entre eux est égal au produit des deux autres, on conclut que ces quatre nombres forment une proportion, soit quatre nombres a, b, c et d tels que :
a x d = b x c
Divisons tout d’abord les deux membres de l’égalité par b :
Après simplification du premier membre de l’égalité, on obtient :
  a             c
     /       = /
    b             d 

    a             c
   /         = /
    b             d
 
3-3- Dans une proportion donnée, on peut permuter (changer de place) les extrêmes entre eux et les moyens entre eux.
3-4- Si deux rapports forment une proportion, on obtient un rapport égal aux deux premiers en prenant pour numérateur la somme des numérateurs et pour dénominateur la somme des dénominateurs.
3-5- On obtient aussi un rapport égal si on utilise la différence.
 a             c              a - c
      /      =        /    =   /
    b             d              b - d
3-6- ax            cy            ax + cy
           / =        /    =       /
   bx            dy           bx + dy
4- Suite de rapports égaux
     Disposant de plusieurs rapports égaux, on peut former une suite de ces rapports égaux.
            a               c                 e
Soit :       / =  K ;   /     =  K et    /    = K.
            b               d                 f
On peut former une suite ayant la forme suivante :

  a             c              e
       /     =     /       =   /
    b             d              f
5- Propriétés des suites de rapports égaux

Elles ont les mêmes propriétés que les proportions.
  a             c              e          a + c+ e
         /   =      /      =    /        =  /
    b             d              f          b + d + f
et on peut les écrire sous la forme suivante :
  a             c              e           ax+ cy+ ez
        /    =   /         =   /         =  /
    b             d              f          bx + dy + fz
II- Grandeurs proportionnelles

1- Grandeurs directement proportionnelles

1-1- Exemple
Soit le tableau ci-après :
Salaire encaissé
Nombre d’heures de travail
Rapport (taux horaire)


 
1 050 DH

1 700 DH

2 350 DH

2 550 DH

3 100 DH

………………
A DH
42 heures

68 heures

94 heures

102 heures

124 heures

……………..
B heures
       1 050 = 25
42
      1 700 = 25
68
       2 350 = 25
94
       2 550 = 25
102
       3 100 = 25
124
……………..
      A = K(25)
                  B

1-2- Constatation
- le rapport de chaque salaire à la durée correspondante est constant (25) ;
- ces valeurs forment une suite de nombres directement proportionnels.

1-3- Conclusion
         On dit que les « salaires » et les « durées » correspondantes sont deux grandeurs directement proportionnelles.

1-4- Définition
         Deux grandeurs qui varient simultanément sont directement proportionnelles quand le rapport des mesures correspondantes est constant.

Exemple de grandeurs directement proportionnelles
- prix d’une marchandise et son poids;
- salaire d’un ouvrier (payé à la pièce) et nombre de pièces fabriquées;
- prime d’ancienneté encaissée par un ouvrier et  nombre d’années de travail ; etc.

Les grandeurs                   a,      b,    et   c
sont proportionnelles à   A,      B,    et  C
                                       a          b           c
si l’on peut écrire :               =          =
                                      A          B          C
Exemple
Les grandeurs               :   14,      24,    et   30
sont proportionnelles à :  42,       72,    et   90
                                         14        24        30
si l’on peut écrire       :            =          =
                                          42        72        90
1-5- Propriétés

1- Soient a et b deux mesures de grandeurs directement proportionnelles et K la valeur du rapport constant appelé COEFFICIENT DE PROPORTIONNALITE.
                                               a
De la définition, il découle :       = K           a = Kb
                                               b
Lorsque deux grandeurs sont directement proportionnelles, la mesure de l’une est égale au produit de la mesure correspondante de l’autre par le coefficient de proportionnalité.

2- Soient (y1, x1) et (y2, x2) deux couples de mesures correspondantes de deux grandeurs proportionnelles, de la définition, il découle :
                                                  y1            y2                       y1            x1     
                                                     /     =     /      (= K)         /            =/


                                                 x1            x2                       y2            x2
Lorsque deux grandeurs sont directement proportionnelles, le rapport de deux mesures quelconques de l’une est égal au rapport de deux mesures correspondantes de l’autre.
         Du tableau du B-1. 1er paragraphe, on vérifie que :

2 350       94
           =
1 700       68

3- Soient y et x un couple de mesures correspondantes de deux grandeurs directement proportionnelles, il découle :


Lorsque deux grandeurs sont directement proportionnelles, si la mesure de l’une est multipliée (ou divisée) par un nombre quelconque, la mesure correspondante de l’autre est multipliée (ou divisée) par le même nombre.
Du tableau du B – 1. 1er paragraphe, on vérifie qu’au couple (1 700 ; 68) correspondant le couple (2 550 ; 1 02).
1 700                68
      x         1,5        x     1,5
            / /
 

             2 550           102
2- Grandeurs inversement proportionnelles

2-1- Exemple
Le tableau suivant donne le nombre d’articles (de prix unitaires variables) qu’on peut acquérir avec 10 000 DH.
Nombre d’articles
Prix unitaire
Produit des mesures
250
200
125
100
….
y
40
50
80
100
….
x
250 x 40 = 10 000
200 x 50 = 10 000
125 x 80 = 10 000
100 x 100 = 10 000
….
y × x = K

2-2 Constatation
- le produit des couples de mesures correspondantes est constant (10 000) ;
- ces mesures forment une suite de nombres inversement proportionnels.

2-3 Conclusion
         On dit que le nombre d’articles achetés et le prix unitaire correspondant sont deux grandeurs inversement proportionnelles.


2-4- Définition
         Deux grandeurs qui varient simultanément sont inversement proportionnelles quand le produit de leurs mesures correspondantes est constant.

Exemple de grandeurs inversement proportionnelles
- la durée d’un trajet et la vitesse ;
- pour un travail donné, le nombre d’ouvrier et le temps à passer pour l’exécuter…, en supposant une durée de travail uniforme pour chaque ouvrier.

2-5- Propriétés

1- Soient y et x deux mesures de grandeurs inversement proportionnelles et K le produit constant ;
                                                                     y
                                                 yx = K              = K
                                                                     1
                                                                     x           1
expression qui signifie que y est proportionnel à          d’où :
                                                                                  x

Lorsque deux grandeurs sont inversement proportionnelles, les mesures de l’une d’elles sont directement proportionnelles aux inverses des mesures correspondantes de l’autre.
                            250       200       125       100
On vérifie que :           =          =            =          = 10 000
                              1           1           1          1
 

                             40         50         80       100

                                      40                                 50
d’où :                 250 x         = 10 000 ;   200 x          = 10 000
                                       1                                    1

                                      80                                 100
                          125 x          = 10 000 et 100 x          =  10 000.
                                       1                                     1
2- Soient (y1, x1) et (y2, x2) deux couples de mesures correspondantes de deux grandeurs inversement proportionnelles :
                                                        y1 × x1 =  y2  × x2  = K

                                            ou        y1   =  y2 = K
 

                                                        1         1
                                                                                        x1           x2    

                                                                                  1
                                                                                                                                  
                                                                       y1        x1
En permutant les moyens, on obtient :                 =
                                                                       y2        1
                                                                               
                                                                                                                                              x2
                                                                                           y1              x2
soit en transformant le deuxième membre de l’égalité :          =         
                                                                                           y2          x1
Lorsque deux grandeurs sont inversement proportionnelles, le rapport de deux mesures quelconques de l’une est égal au rapport inverse de deux mesures correspondantes de l’autre.
                                                           250 x 40 = 10 000
                           250        50
On vérifie que :          =             
                          200        40
                                                           200 x 50 = 10 000.

3- Soit y et x un couple de grandeurs inversement proportionnelles.
                                                                     y                    y × m      y × m     
 On a :                                                              / = K                 /      =/
                                                                     1                     1               m
                                                                       /                       /  × m      /
                                                                     x                     x                x   
                                            x
qui donne :         ( y x m)       /    = K.
                                            m

Lorsque deux grandeurs sont inversement proportionnelles, si la mesure de l’une est MULTIPLIEE (ou divisée) par un nombre quelconque, la mesure  de l’autre est DIVISEE (ou multipliée) par ce nombre.
3- Grandeurs directement proportionnelles à plusieurs autres

3-1 Exemple
Le tableau suivant donne le prix d’un terrain en fonction de ses dimensions (longueur et largeur).


Prix

Longueur

Largeur
Rapport :  Prix     r
        surface

70 000



210 000 (= 70 000 x 3)



420 000 (= 210 000 x 2)


P

10



30 (= 10 x 3)



30


x

7



7



14 (= 7 x 2)


y

  70 000
                          = 1 000
   10 x 7

   210 000
                             = 1 000
     30 x 7

  420 000
                             = 1 000
      30 x 7
      P
                          = 1 000 (= K)
   x × y


On constate que :
- le prix est directement proportionnel à la longueur et aussi à la largeur ;
- le rapport du prix au produit des mesures correspondantes des longueur et largeur est constant.

3-2- Définition
         Une grandeur est directement proportionnelle à plusieurs autres si elle est directement proportionnelle à chacune d’elles

3-3- Propriétés
1- Lorsqu’une grandeur est directement proportionnelle à plusieurs autres, le rapport d’une mesure quelconque de cette première grandeur au produit des mesures correspondantes des autres est constant (voir tableau, 4e colonne).

2- Une mesure quelconque d’une grandeur proportionnelle à plusieurs autres est égale au produit des mesures correspondantes des grandeurs auxquelles elle est proportionnelle par le coefficient de proportionnalité.
              P
On a :              = K            P = K × x × y
           x × y

III – Partages proportionnels

1 – Grandes directement proportionnelles

1-1- Définition
Partager un nombre N proportionnellement aux nombres donnés a, b et c, c’est déterminer les nombres x, y et z tels que l’ont ait la suite des rapports égaux :
                                                        x           y          z    
                                                                  =           =          avec x + y + z = N
                                                             a            b          c
1-2- Calcul de x, y et z
         Nous proposons une solution simple. Posons une suite de rapports égaux.

                                                    x          y          z          x + y + z            N
                                                         =           =          =                    =                  = K
                                                    a           b          c         a + b + c        a + b + c
              x
d’où :            = K               x =                        a x K    (1)
              a
              y
                     = K               y =                         b x K    (2)
              b
              z
                     = K               z =                         c x K     (3)
              c
                            x + y + z  =                  aK + bK + cK

                            x + y + z  =                  K(a + b + c)

                           x + y+ z               N
              K    =                     =

12

Filière
U.F.
ELABORE PAR
EFP
ANNEE DE FORMATION
TCE 1

Calculs commerciaux
AL TALLA ILIAS
ISTA
OUEZZANE
2014-2015

 
                           a + b + c          a + b + c
En remplaçant K par sa valeur dans les expressions (1), (2) et (3), nous trouvons les valeurs de x, y et z.

2- Grandeurs inversement proportionnelles

§  définition
Partager un nombre N inversement proportionnellement aux nombres données a, b et c, c’est déterminer les nombres x, y et z tels que l’on ait la suite des rapports égaux :
                                                             x           y          z    
                                                                  =           =          avec x + y + z = N
                                                             1            1         1
                                                            
                                                             a            b          c
N.B : ce problème revient en quelque sorte à partager un nombre aux inverses des nombres donnés.

APPLICATIONS

§  Application 1
Partager 80 000 DH proportionnellement à 5, 4 et 11.

- Solution
Soient x, y et z les trois nombres demandés.
                x         y        z
On a :           =          =          avec x + y + z = 80 000
                5         4       11

           x   
                  =  K                           x = 5 K
           5

           y
                  =  K                           y = 4 K
           4

           z
                  =  K                            z = 11 K
          11
            
                                             x + y + z  = 20 K
                                                           80 000
            80 000 = 20 K                K  =
                                                              20
            K = 4 000


 
 


d’où :    x =  5 x 4 000 = 20 000 DH
              y =  4 x 4 000 = 16 000 DH
              z = 11 x 4 000 = 44 000 DH
 

- Vérification :              80 000 DH.

§  Application 2
Partager 15 300 DH inversement proportionnellement aux nombres 3, 4 et 8.

- Solution
Soient x, y et z les nombres demandés ; on a :
       x        y          z
            =        =             avec x + y + z = 15 300
       1        1           1
 

       3        4          8
                                                                               1         1          1
On réduit au même dénominateur les fractions          ,            et       .
                                                                               3         4          8
D.C. = 24

    1        1 x 8         8         1         1 x 6        6          1        1 x 3       3
          =             =          ;          =            =          et        =           =        .
    3        3 x 8        24        4         4 x 6       24         8       8 x 3      24

                                                                                                                1       1           1
Le problème revient donc à partager 15 300 proportionnellement à         ,         et           ou
                                        8       6          3                                                 3       4           8
                                         8      6         3
Proportionnellement à         ,        et          ou encore à 8, 6 et 3.
                                       24     24       24

                                                 x        y        z          x         y          z
Alors nous pouvons poser :           =        =        ou        =         =   
                                                 1        1        1          8         6          3
 

                                                 3        4        8         24       24        24 
                      x         y        z
ou encore :         =         =        = K
                      8         6        3


 



                     x
d’où :                  = K                         x = 8 K
                     8

                     y
                           = K                         y = 6 K
                     6

                     z
                           = K                         z = 3 K
                     3
                                  x + y + z         = 17 K



          x + y + z          15 300
K =                      =                  = 900
               17                 17

Remplaçant K par sa valeur.
x = 8 x 900         = 7 200 DH
y = 6 x 900         = 5 400 DH
z = 3 x 900         = 2 700 DH



 Vérification :    15 300 DH. 



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