Chapitre 2 : Les pourcentages
I- Définition
On appelle pourcentage (ou tant pour
cent) le rapport constant des mesures de deux grandeurs propositionnelles quand
la mesure de la seconde est 100.
C’est donc un rapport dont le dénominateur est égal à
100.
Du point de vue calcul mathématique, on a deux cas
distincts :
-
soit le pourcentage s’applique sur une quantité connue, nous l’appelons
alors pourcentage direct ;
-
soit le pourcentage s’applique sur une quantité inconnue, nous
l’appelons dans ce cas, pourcentage indirect.
II- Pourcentage direct
Exemple
Un commerçant achète un article au prix
de 8 000 DH. Il désire réaliser un bénéfice de 20% sur le prix d’achat. Quel
sera alors son bénéfice ?
- Solution
8 000 x 20
Bénéfice : /
100
Cette expression peut aussi
s’écrire sous la forme suivante :
20
Bénéfice
= 8 000 x / bénéfice =
1 600 DH.
100
Plus
généralement, une quantité représentée par un pourcentage de x% applicable à
une quantité connue P, se calcule comme suit :
x
p × /
100
III- Pourcentage indirect
Exemple
Un commerçant achète
une marchandise à 12 000 DH et désire réaliser un bénéfice de 20% sur le
prix de vente. Quel sera, dans ce cas, son bénéfice ?
N .B.
: Lorsque le bénéfice est calculé sur
le prix de vente, on l’appelle « marge brute » ou « taux de
marque ».
-
Solution
En observant bien l’expression « bénéfice de 25%
sur le prix de vente », nous conclusions que : le bénéfice (B) =
25 chaque fois que le P.V. = 100 et par voie de conséquence, le prix
d’achat (P.A) sera égal à : 100 – 25 = 75.
Ces trois éléments peuvent être disposés dans un
tableau appelé « tableau de concordance ».
P.A
75
+ B 25
P.V. 100
A partir de ce tableau, nous pouvons
calculer n’importe quel élément en fonction des deux autres.
De ce fait, nous pouvons calculer le bénéfice en
fonction de l’élément connu qu’est le P.A.
25
B = x P.A.
75
25
B = x 12.000 Bénéfice = 4 000 DH
75
Généralisation :
Si le bénéfice est égal à x % du P.V.,
on a :
|
P.A.
100 – x
+
B x d’où
P.V. 100
VI
– Applications des pourcentages aux réductions
En général, le commerçant accorde à ses
clients une réduction de a%, calculée sur le prix de vente public appelé
aussi :
-
Prix de vente-catalogue (P.V.C.)
-
Prix de vente brut (P.V.B.)
- Prix
de vente marqué (P.V.M.)
Remarque :
Si
on a plusieurs réductions, on les calcule en cascade, c’est-à-dire
successivement.
Soient :
-
P.V.C. : prix de vente-catalogue,
-
P.V. : prix de vente net,
- a %, b %, … : les réductions successives (exemple : 10 % et
8 %).
A
partir de ces 2 tableaux de concordance, on peut calculer directement et par
simple lecture (voir flèches) :
- le P.V.C. en fonction du P.V.
- ou le P.V. en fonction du P.V.C.
N.B : les flèches peuvent se lire dans les deux sens.
1-1- Calcul du P.V.C. en
fonction du P.V.
Le point de départ est le
P.V.C.
Le point d’arrivée est le
P.V.
Pour utiliser les tableaux précédents, on commence par poser l’élément à
calculer (point de départ) et on termine par l’élément connu (point d’arrivée)
100 100
  P.V.C. = / x / x P.V.
100 – a 100 - b
|
100 100
  P.V.C. = / x / x P.V.
90 92
|
1- 2- Calcul du P.V. en
fonction du P.V.C.
Rappel :
Point
de départ : P.V. à calculerPoint
d’arrivée : P.V.C. connu
100 – b 100 – a
P.V.
= x x P.V.C. qu’on peut écrire
sous la forme suivante :
100 100
100 - a 100 - b
  P.V = x x P.V.C
100 100
|
Dans l’exemple chiffré, on
a :
90 92
P.V = x x P.V.C
100 100
|
Remarque :
Lorsqu’on a plusieurs réductions, on peut intervertir
leur ordre, mais on ne doit jamais les additionner.
V- Coefficient multiplicateur
et taux de bénéfice
Le coefficient multiplicateur est le
nombre qui permet de passer de la quantité connue à la quantité inconnue par
une seule multiplication.
Exemples
- Passer du prix d’achat
(P.A.) au prix de vente net (P.V.).
|
VI- Influence des taxes
(T.V.A.)
Le prix de vente marqué sans taxe, dit aussi
« hors taxe ». (P.V.H.T.) est passible d’une taxe appelée « taxe
sur la valeur ajoutée » (T.V.A.).
En principe, cette taxe est exprimée en un pourcentage
de ce prix.
Les commerçants incluent cette taxe dans leur prix de
vente hors taxe qui est appelé alors « prix de vente taxe comprise »
(P.V.T.C.).
Si le taux de la T.V.A. est t %, on a :
P.V.H.T. 100
+ taxe t r
P.V.T.C. 100 + t
Exemple
Déterminer le prix de vente, toutes taxes
comprises, d’une marchandise qui était vendue 5 610 DH hors taxes, si le
vendeur désire incorporer dans son prix la T.V.A. de 20%.
- Solution
P.V.H.T. 100
+ taxe 20 r
P.V.T.C. 120
120
P.V.T.C. = x P.V.H.T.
100
120
P.V.T.C. = x 5 610
100
|
APPLICATIONS
§ Application 1
Le prix de vente à la clientèle (P.V.C.) d’un article
est fixé à 2 500 DH. Sachant que, lors des soldes, le commerçant accorde à tout
acheteur deux remises de 5 et 8%,
calculer le prix de vente net de l’article.
- Solution
§ Application 2
Un commerçant décide de fixer le prix de vente net
d’un meuble de bureau à 5 400
DH. Quel sera le prix de vente à la clientèle s’il désire accorder à tout
acheter deux réductions successives de 10 et 4% ?
- Solution
§ Application 3
Une marchandise, achetée 3 526 DH, a été vendue 4
231,20 DH.
1)
Quel est le taux de bénéfice réalisé sur le prix d’achat ?
2)
En déduire le coefficient multiplicateur.
- Solution
1)
Pourcentage de bénéfice sur le prix d’achat
Bénéfice
réalisé : 4 321,20 – 3 526 = 705,20
On
désire calculer le pourcentage de bénéfice sur le prix d’achat ;
donc on pose les 2 éléments
soulignés.
P.A. B
Pour 3 526 705.20 
Pour 100 t
On
pose, par la suite, une proportion (égalité de 2 rapports) :
3
526 705,20 100 x 705,20
= d’où t = = 20.
100
t
3 526
Le
bénéfice représente 20% du P.A.
2)
Coefficient multiplicateur
D’après
la définition, on peut écrire :
P.V.
4 231,20
P.V.=
P.A. x coefficient multiplicateur (K) d’où K = = = 1,20 ou bien
P.A. 3 526
à l’aide
du tableau de concordance en utilisant le pourcentage trouvé
précédemment :
P.A. 100
+ B 20 n
P.V. 120
Tirons
le P.V. en fonction du P.A.,
120
P.V. = / x P.A.
100
120
K = / = 1,20. Coefficient
multiplicateur
100
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