La
présentation des données sous forme de distribution statistique dépend du
caractère étudié.
2-1- Cas d’un caractère qualitatif :
Exemple :
Une enquête menée auprès d’un
échantillon de 40 élèves choisis au hasard dans un établissement secondaire
qualifiant de 700 élèves, sur leur opinion quant à l’ouverture d’une buvette à
l’entrée de l’établissement a permis de recueillir les réponses
suivantes :
-
très défavorable :
-
défavorable :
-
indécis :
-
indifférent :
-
favorable :
-
très favorable.
Chacune des réponses (très défavorable, défavorable…)
constitue une modalité du caractère « opinions sur l’ouverture d’une buvette
à l’entrée de l’établissement ».
L’image de la consignation des réponses
des 40 élèves sur une feuille de papier est la suivante :
Très
défavorable – très défavorable – favorable – indécis – indifférent – favorable
– très défavorable – favorable – indécis – indécis – très défavorable – très
défavorable – très défavorable – favorable – indifférent – indécis – très
défavorable – très défavorable – favorable – indécis – indifférent – indécis –
favorable - favorable – très défavorable
– favorable – indécis – favorable – indifférent – très défavorable – très
défavorable – favorable – défavorable – indécis – indifférent – favorable –
très défavorable – favorable – indécis – très favorable.
-
Exploitation :
Le
caractère a six modalités : très
défavorables, défavorable, indécis, indifférent, favorable, très favorable. On
peut attribuer à chacune des modalités un code qui peut être soit alphabétique
soit numérique soit alphanumérique avant de commencer à dénombrer les élèves
correspondant à chaque modalité.
-
par exemple à :
-
très défavorable on peut associer soit 1 soit a sait a1
-
défavorable on peut associer soit 2 soit b soit b2
-
indécis on peut associer soit 3 soit c soit c3
-
indifférent on peut associer soit 4 soit d soit d4
-
favorable on peut associer soit 5 soit e soit e5
-
très favorable on peut associer soit 6 soit f soit f6
Associons
le code numérique 1-2-3-4-5-6 aux différentes modalités du caractère et
essayons de constituer un tableau à deux lignes, une réservée aux modalités du
caractère et
l’autre
au nombre d’élèves correspondants. On dénombre ensuite le nombre de réponses
correspondantes à chaque modalité ce qui nous donne le tableau suivant :
|
Modalité
du caractère
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
Nombre
d’élèves correspondants
|
12
|
1
|
9
|
5
|
12
|
1
|
Le nombre d’élèves de l’échantillon
(40) est appelé fréquence absolue total ou effectif total.
2-2- Cas d’un caractère quantitatif appelé également variable
statistique :
2-2-1- Caractère quantitatif discret (ou discontinu) :
Exemple :
Dans un nouveau quartier de la ville de
Casablanca, une enquête est menée auprès d’un échantillon de 70 familles sur le
nombre d’enfants par famille ayant un âge compris entre 5 et 12 ans pour juger
de l’opportunité de la construction d’une école primaire dans ce quartier. Le
nombre de familles parmi lesquelles on a choisi l’échantillon des 70 familles
est de 1746.
Les résultats obtenus et consignés sont
les suivants
|
0
|
-
|
1
|
-
|
1
|
-
|
5
|
-
|
6
|
-
|
4
|
-
|
3
|
-
|
6
|
-
|
0
|
-
|
5
|
-
|
|
4
|
-
|
3
|
-
|
2
|
-
|
1
|
-
|
6
|
-
|
4
|
-
|
3
|
-
|
7
|
-
|
0
|
-
|
6
|
-
|
|
5
|
-
|
4
|
-
|
6
|
-
|
1
|
-
|
7
|
-
|
4
|
-
|
5
|
-
|
3
|
-
|
6
|
-
|
7
|
-
|
|
5
|
-
|
4
|
-
|
6
|
-
|
7
|
-
|
3
|
-
|
2
|
-
|
4
|
-
|
6
|
-
|
3
|
-
|
1
|
-
|
|
6
|
-
|
5
|
-
|
4
|
-
|
6
|
-
|
0
|
-
|
3
|
-
|
7
|
-
|
2
|
-
|
2
|
-
|
1
|
-
|
|
3
|
-
|
4
|
-
|
4
|
-
|
5
|
-
|
6
|
-
|
3
|
-
|
2
|
-
|
1
|
-
|
6
|
-
|
7
|
-
|
|
6
|
-
|
4
|
-
|
3
|
-
|
5
|
-
|
6
|
-
|
2
|
-
|
1
|
-
|
3
|
-
|
2
|
-
|
6
|
-
|
-
Exploitation :
On remarque que le caractère nombre
d’enfants par famille ayant un âge compris entre 5 et 12 ans prend les valeurs
suivantes : 0-1-2-3-4-5-6 et 7.
On peut dire que la variable
statistique « nombre d’enfants par famille en âge compris entre 5 et 12
ans » ne prend que 8 valeurs sus-indiquées.
Pour une représentation plus
claire des résultats obtenus, on va dresser un tableau en 3 colonnes :
|
Nombre
d’enfants ayant un âge compris entre 5 et 12 ans
|
Nombre de familles
|
|
Résultat du dénombrement :
|
Effectifs :
|
|
0
1
2
3
4
5
6
7
|
IIII
IIIIIIII
IIIIIII
IIIIIIIIIII
IIIIIIIIIII
IIIIIIII
IIIIIIIIIIIIIII
IIIIII
|
4
8
7
11
11
8
15
6
|
|
Total :
|
70
|
A chaque valeur de la variable
statistique correspond le nombre de familles appelé fréquence absolue ou
l’effectif.
L’effectif global est égal à 70.
Remarque :
Le dépouillement dans le cas du
caractère quantitatif discret est le même que dans le cas d’un caractère
qualitatif.
2-2-2- Caractère quantitatif continue ou variable statistique
continue :
Exemple :
Le dénombrement effectué
sur un échantillon de 60 exploitations agricoles prises au hasard a permis
d’obtenir les superficies suivantes en hectares.
5,40 – 6 – 8,3 – 5 – 99 – 10,15 – 15,3 – 4 – 16 – 5,5 –
83,4 – 40 – 27,5 – 8 – 80,60 – 33,5 – 27 – 27,8 – 18,7 – 17
3 – 8 – 9,9 – 27,8 – 23 –
18,7 – 46 – 43 – 76 – 8,2 – 21 – 18,9 – 13 – 15 – 6,6 – 73,5 – 14,6 – 9,2 – 14
– 12 – 22,5
33,6 – 83 – 50 – 33 – 8,6 –
45 – 18 – 19 – 27,5 – 27 – 36 – 44,5 – 40,8 – 33,9 – 78,8 – 84,6 – 33,6 – 77,6
– 7,6
Exploitation :
-
La variation statistique étudiée est la superficie des exploitations
agricoles.
-
Cette variable prend toutes les valeurs s’étalant entre 3 hectares (la plus
petite valeur) et 99 hectares (la plus grande valeur). La différence
arithmétique entre ces deux valeurs constitue l’intervalle de variation
de la variable statistique.
-
Le dépouillement et la présentation sous forme de tableau est pratiquement
impossible dans la mesure où chaque valeur n’est répétée que rarement, en
d’autres termes, le tableau
statistique se trouve, dans ce cas composé
d’une cinquantaine de lignes correspondant aux valeurs rencontrées.
- On procède à un partage de
l’intervalle statistique en classes d’amplitude égale (amplitude est la
différence entre la plus grande valeur de la classe et la plus petite valeur)
ou inégale.
- Pour une simplification, on
procède à l’adoption de classes d’amplitudes égales de telle sorte que le
nombre de classes soit compris (pour la commodité de la représentation sous
forme de tableau) entre 10 et 20.
- On obtient les classes
suivantes :[ 0 à 10 [ - [ 10 – 20 [ - [ 20 – 30 [ - [ 30 – 40 [ - [ 40 – 50 [ -
[ 50 – 60 [ - [ 60 – 70 [ - [ 70 – 80 [ - [ 80 – 90 [ - [ 90 – 100 [.
- On procède ensuite à
l’élaboration d’un tableau de 10 lignes (classes) et 3 colonnes : la
colonne des classes, la colonne du dénombrement schématisé et la colonne des
fréquences absolues ou effectifs.
|
Classes (v.v.s) :
|
Résultat du dénombrement statistique :
|
Effectifs :
|
|
[ 0 à 10 [
[ 10 à 20 [
[ 20 à 30 [
[ 30 à 40 [
[ 40 à 50 [
[ 50 à 60 [
[ 60 à 70 [
[ 70 à 80 [
[ 80 à 90 [
[ 90 à 100 [
|
IIIIIIIIIIIIIII
IIIIIIIIIIIIII
IIIIIIIIII
IIIIIIII
IIIII
IIII
III
I
|
15
14
10
8
5
0
0
4
3
1
|
|
Total
|
60
|
- Donc la commodité de la
représentation exige d’annuler ces deux classes.
- Soit en changement
l’amplitude des classes tout en gardant la même amplitude en ce qui concerne
l’ensemble des classes à savoir prendre une amplitude de 20, on aura des
classes suivantes d’amplitude égale.
Mais
dans ce cas, on n’aura que 5 classes.
|
Classes :
|
Effectifs :
|
|
[ 0 à 20 [
[ 20 à 40 [
[ 40 à 60 [
[ 60 à 80 [
[ 80 à 100 [
|
29
18
5
4
4
|
Paragraphe III :
L’exploitation des observations sous forme de tableaux et les
représentations graphiques usuelles:
3-1- Séries statistiques à un seul caractère :
3-1-1- Cas d’un caractère qualitatif :
Exemple:
|
Modalités*
|
Code
|
|
Très faible
Faible
Moyenne
Passable
Importante
Très importante
|
1
2
3
4
5
6
|
Pour tester la qualité des
lampes électriques fabriquées par une machine, on a prélevé un lot de 1000
lampes et on a testé leur durée de vie. Le classement de la durée de vie des
lampes a été effectué selon les modalités suivantes auxquelles on a fait
correspondre un code chiffré.
|
Modalités
|
Code
|
Nombre de lampes
ni
|
|
Très faible
Faible
Moyenne
Passable
Importante
Très importante
|
1
2
3
4
5
6
|
125
140
200
400
100
35
|
|
Total
|
1000
|
-
Exploitation :
·
le nombre d’observations de chaque modalité est l’effectif correspondant à cette dernière, exemple :
pour « moyenne » l’effectif est de 200 lampes
i = 6
·
la somme des effectifs : n1 +n2 + n3
+ n4 + … + n6 = å ni = 1000
i =l
ni
·
la
fréquence relative fi =
å ni
i=n
·
La somme des fréquences = f1 + f2 + f3
+ … + f6 = å fi = 1
i=l
Le pourcentage = Pi = fi x 100
Si on ajoute les effectifs un à un, en
commençant par le haut, on obtient les effectifs cumulés croissants (ECC)
Consignons
dans un tableau les différents paramètres indications qu’on peut calculer dans
le cadre d’une série à caractère qualitatif
|
modalités
|
Code
|
Nombre de lampes ei
|
ECC
|
ECD
|
Fréquences
fi
|
FCC
|
FCD
|
Pourcentages
|
|
Très faible
|
1
|
120
|
125
|
1000
|
0,125
|
0,125
|
1
|
12,5
|
|
Faible
|
2
|
140
|
265
|
875
|
0,14
|
0,265
|
0,875
|
14
|
|
Moyenne
|
3
|
200
|
465
|
735
|
0,2
|
0,465
|
0,735
|
20
|
|
Passable
|
4
|
400
|
865
|
535
|
0,4
|
0,865
|
0,535
|
40
|
|
Très
|
5
|
100
|
965
|
135
|
0,1
|
0,965
|
0,135
|
10
|
|
Très
importante
|
6
|
35
|
1000
|
35
|
0,035
|
1
|
0,035
|
3,5
|
|
Très faible
|
|
1000
|
|
|
|
|
|
100
|
-
Lecture des effectifs cumulés croissants (ECC) : 465 lampes ont une durée
de vie inférieure ou égale à la durée « moyenne ».
-
Lecture des ECD : 535 lampes ont une durée de vie au moins
« passable »
-
Lecture des FCC : 0,265 lampes ont une durée de vie au plus faibles et très
faible.
-
Lecture des FCD : 0,135 lampes ont une durée de vie au moins importante ou
importante et très importante.
Graphique :
Faites
le graphique en tyaux d’orgue (voir TP)
3-1-2- Cas d’un caractère quantitatif :
3-1-2-1- Variable discrète :
Exemple 1 :
La distribution statistique suivante
est le résultat d’une enquête faite auprès de 4268 ménages sur le nombre de
personnes par ménage
|
Nombre de personnes par ménage V.V.S :
|
Nombre de ménages
|
|
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 et plus
|
57
340
506
735
850
830
470
220
190
70
|
|
Total
|
4268
|
-
1, 2, 3, 4, …. Constituent les valeurs de la variable statistique appelée xi
ex :
xi = 1 ; x5 = 5 ; x7 = 7
-
L’intervalle de variation de la variable statistique est compris entre 1 et
plus de 10 (indéterminé dans sa limite supérieure).
-
Le nombre d’observations de chaque valeur de la variation statistique xi est
appelé fréquence absolue (f1a) ou effectif (symbolisé par ni)
i=10
·
La somme des effectifs = n1 + n2 + n3 + n10
= å ni
i=1
57 + 340
+ 506 + …. + 70 = 4268
n n
Remarque : å ni = N et å fi = 1
i=1 i=1
|
Donc,
la somme des fréquences est égale à 1.
-
On peut calculer à partir de la fréquence les pourcentages en multipliant
chaque fréquence par 100.
p1
= f1 x 100 p6 = f6 x
100
= 0,013 x 100 = 1,3% x = 0,19 x 100 = 19%
-
Si on ajoute les effectifs et un à un en partant du haut, on obtient les
effectifs cumulés croissants (ecc).
|
-
Si on ajoute les effectifs ei un à un en partant du bas, on obtient les
effectifs cumulés décroissants (ecd).
-
On peut également obtenir les fréquences cumulées croissantes (fcc) et les
fréquences cumulées décroissantes (fcd) en ajoutant les fréquences cumulées
décroissantes (fcd) en ajoutant les fréquences une à une soit en commençant
par le haut (fcc) soit par le bas (fcd).
|
Consignons dans un tableau
les différents paramètres et indicateurs que l’on peut calculer dans le cadre
d’une série statistique.
|
Nombre de personnes
par ménage
(vvs) xi
|
Nombre de ménages
(effectifs)
ei
|
Effectifs cumulés
croissants
|
Effectifs cumulés
décroissants
|
Fréquence fi
calculée
|
Fréquence fi
arrangée
|
Fréquence cumulées
croissantes
|
Fréquence cumulées
décroissantes
|
|
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
|
57
340
506
735
850
830
470
220
190
70
|
57
397
903
1638
2488
3318
3788
4008
4198
4268
|
4268
4211
3871
3365
2630
1780
950
480
260
70
|
0,01335
0,07966
0,11855
0,17221
0,19915
0,19447
0,11012
0,05154
0,04451
0,01614
|
0,01
0,08
0,12
0,17
0,20
0,19
0,11
0,05
0,05
0,02
|
0,01
0,09
0,21
0,38
0,58
0,77
0,88
0,93
0,98
1
|
1
0,99
0,91
0,79
0,62
0,42
0,23
0,12
0,07
0,02
|
|
|
4268
|
|
|
0,99996
|
1,00
|
|
|
Remarque :
Nous retenons simplement deux chiffres
après la virgule quant au calcul de la fréquence arrangée de telle sorte que la
somme soit égale à 1.
-
Lecture des effectifs cumulés croissants, décroissants et des fréquences
cumulées croissantes et décroissantes.
*
ECC è 4ème
valeur : il y a 1638 ménages qui sont constitués au plus de 4 personnes,
ou le nombre de personnes est inférieur ou égal à 4.
*
ECD è 6ème
valeur : il y a 1780 ménages qui sont constitués au moins de 6 personnes,
ou le nombre de personnes est supérieur ou égal à 6.
* FCC
è 3ème
valeur : il y a 0,21 ménages qui sont constitués au plus de 3 personnes,
ou le nombre de personnes est inférieur ou égal à 3.
*
FCD è 7ème valeur :
il y a 0,23 ménages qui sont constitués au moins de 7 personnes, ou le nombre
de personnes est supérieur ou égal à 7.
Représentation
graphique :
1- Diagramme des
effectifs :
La représentation est faite à l’aide
d’un repère orthonormé (axes perpendiculaire), les V.V.S sont placées sur l’axe
des x et les différents effectifs sur l’axe des y. Chaque valeur de la variable
statistique est représentée par un bâton proportionnel à l’effectif.
-
La représentation est faite au moyen de bâtonnets proportionnels aux effectifs.
-
On peut joindre les têtes des bâtonnets et on obtient ainsi un polygone des
effectifs.
2- Diagramme des fréquences :
Le même principe est retenu pour le diagramme
des fréquences avec la différence que l’axe des y contient les fréquences et
celui des x les effectifs.
Remarque :
Le polygone des effectifs et des
fréquences ont la même allure du fait que les fréquences sont proportionnelles
aux effectifs.
3-1-1—Variable
continue :
Exemple 1 : classes de même amplitude de variation :
On a recensé, dans une
ville, 3000 ménages au cours de l’année 2005 et on a consigné l’âge des
épouses. Les résultats du dépouillement nous ont permis d’établir la série
statistique suivante (Tableau ci-contre) :
|
Age de l’épouse (année révolue) classe :
|
Nombre de ménage :
|
|
De 18 à moins 22 ans
De 22 à moins 26 ans
De 26 à moins 30 ans
De 30 à moins 34 ans
De 34 à moins 38 ans
De 38 à moins 42 ans
De 42 à moins 46 ans
De 46 à moins 50 ans
De 50 à moins 54 ans
De 54 à moins 58 ans
|
150
750
600
450
330
300
210
120
60
30
|
|
Total
|
3000
|
Remarque :
-
La classe de 18 à moins 22 ans, par exemple, peut s’écrite à l’aide
d’un intervalle fermé à gauche et ouvert à droite [18-22[.
-
Le domaine de variation de la variable statistique est la différence
entre la plus grande valeur de la variable et la plus petite valeur.
-
Le domaine de variation de la variable statistique = 58 – 18 = 40
-
Le nombre de classes est égal à 10 et l’amplitude de variation de
chaque classe est 40/10=4 ou 22-18= 4
Dans l’exemple, on remarque que les différentes
classes ont la même amplitude.
Remarque :
Au lieu de 10 classes à amplitude
égale, on aurait pu réduire leur nombre ou l’augmenter et opter pour des
classes à amplitudes inégales. En effet, le choix du nombre des classes et leur
amplitude (égale ou inégale) dépend du phénomène étudié et du choix du
statisticien.
·
Calcul du centre de chaque classe ou de la variable statistique Xi
c’(borne inférieure) + Xi
(borne supérieure)
1ère
classe : le centre de la classe =
= c1
2
18 + 22
ci = =
20
2
- Calcul
et récapitulation dans un tableau des différentes valeurs de la variable
statistique, de l’ECC (effectifs cumulés croissants), de l’ECD (fréquences
cumulées décroissantes), de la fréquence, de l’FCC (fréquences cumulées croissants),
de l’FCD (fréquences cumulées décroissants) et des pourcentages.
Tableau
statistique :
|
Age de l’épouse classe
|
Nombre
de ménages
ni
|
Centre des classes ci
|
ECC
|
ECD
|
Fréquence fi
|
FCC
|
FCD
|
Pourcen-tages
|
|
De 18 à moins 22 ans
De 22 à moins 26 ans
De 26 à moins 30 ans
De 30 à moins 34 ans
De 34 à moins 38 ans
De 38 à moins 42 ans
De 42 à moins 46 ans
De 46 à moins 50 ans
De 50 à moins 54 ans
De 54 à moins 58 ans
|
150
750
600
450
330
300
210
120
60
30
|
20
34
28
32
36
40
44
48
52
56
|
150
900
1500
1950
2280
2580
2790
2910
2970
3000
|
3000
2850
2100
1500
1050
720
420
210
90
30
|
0,05
0,25
0,20
0,15
0,11
0,10
0,07
0,04
0,02
0,01
|
0,05
0,30
0,50
0,65
0,76
0,86
0,93
0,97
0,99
1
|
1
0,95
0,70
0,50
0,35
0,24
0,14
0,07
0,03
0,01
|
5
25
20
15
11
10
7
4
2
1
|
|
|
3000
|
|
|
|
|
|
|
100%
|
Représentation graphique :
A partir du moment où l’amplitude des
classes est la même, la représentation graphique ne pose aucun problème. Il
suffit de placer les VVS sur l’axe des abscisses et les effectifs
correspondants sur l’axe des ordonnées.
Remarques :
* On obtient un histogramme
des effectifs (un ensemble de rectangle côté à côté).
* La hauteur de chaque
rectangle est proportionnelle à l’effectif
représenté.
* Si on fait le centre des
classes on obtient le polygone des effectifs.
Exemple 2 : Classe
d’amplitudes différentes :
Une enquête menée auprès de l’ensemble des
salariés d’une entreprise sur leur salaire horaire en dirhams nous a permis
d’établir la série statistique suivante :
|
N° d’ordre
|
Salaires horaires classés
|
Membre de salariés ei
|
|
1
2
3
4
5
6
7
8
9
|
[ 8,50- 10 [
[ 10 – 11,50 [
[ 11,5 - 16 [
[ 16 - 22 [
[ 22 - 28 [
[ 28 -34 [
[ 34 - 40 [
[ 40 - 46 [
[ 46 – 58 et plus
|
40
36
32
30
28
26
22
20
12
|
|
Total
|
246
|
-
Tableau récapitulatif
(1) (2)
(3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)
|
Classes
|
Effectifs
ni
|
ECC
|
ECD
|
Fréquence fi
|
FCC
|
FCD
|
Pourcentages
Pi
|
Effectifs corrigés
|
|
[ 8,50- 10 [
[ 10 – 11,50 [
[ 11,50 - 16 [
[ 16 - 22 [
[ 22 - 28 [
[ 28 -34 [
[ 34 - 40 [
[ 40 - 46 [
[ 46 – 58 [
|
40
36
32
30
28
26
22
20
12
|
40
76
108
138
166
192
214
234
246
|
246
206
170
138
108
80
54
32
12
|
0,162
0,146
0,130.
0,122+
0,114+
0,106+
0,089
0,082
0,049+
|
0,162
0,308
0,438
0,560
0,674
0,780
0,869
0,951
1
|
1
0,838
0,692
0,562
0,440
0,326
0,220
0,131
0,049
|
16,2
14,6
13
12,2
11,4
10,6
8,9
8,2
4,9
|
160
144
42,66
30
28
26
22
20
6
|
|
|
246
|
|
|
|
|
|
100%
|
|
- Représentation graphique de la série statistique :
* Prenons
un repère cartésien orthogonal, plaçons les points correspondants aux limites
de chaque classe sur l’axe des abscisses (points déterminants des segments de
longueurs différentes).
*
Sur l’axe des y on place les effectifs corrigés.
Conclusion :
3-1-3-
Les séries chronologiques
Exemple
1 :
Le tableau suivant retrace
l’évolution de la population marocaine en millions depuis 1960.
|
Années
|
1960
|
1971
|
1982
|
1994
|
2004
|
|
Population
|
11,6
|
15,3
|
20,4
|
26,7
|
29,9
|
Source Bank Al-Maghrib : 1960 – 71 – 82 – 94 – 04
- La
série est appelée chronologique parce que l’une des variables est constituée
par le temps
-
plusieurs calculs peuvent être effectués sur cette série statistique :
à titre d’exemple : *
l’augmentation de la population en valeur absolue
Exemple
de 1960 à 2004 è 29,9 – 11,6 = 18,3 millions
*
l’augmentation de la population en valeur relative
29,9 – 26,7
Exemple :
de 1994 à 2004 è = 0,119
26,7
Représentation
graphique :
L’axe des contiendra les valeurs du
temps et l’axe des y le nombre d’habitants.
Mais, il est à constater que le
phénomène « connaissance de la population marocaine » s’est fait à
une date précise qu’on peut considérer comme étant la fin de l’année. De ce
fait, la représentation graphique sera comme dans le cas d’une variable
discrète à l’aide de bâtonnets prenant leur départ du point temps considéré. Et
en reliant l’ensemble des points on obtient le polygone d’évaluation.
3-2- Les séries
statistiques à deux caractères :
Exemple :
Une enquête faite auprès d’un
échantillon de 60 élèves d’un lycée qualifiant sur leur poids et leur taille a
donné les résultats suivants.
(45-15) ;
(60-162) ; (10-165) ; (80-190) ; 67-170) ; (70-175) ;
(68-185) ; (57-162) ; (89-15) ;
(95-180) ; (62-168) ; (72-178) ; (82-160) ; (92-180) ;
(45-155) ; (57-155) ;
(67-160) ; (77-182) ; (87-187) ; (95-192) ;
(45-155) ; (55-158) ; (65-162) ;(75-180) ; (85-170) ; (51-159) ;
(61-145) ; (71-160) ; (81-190) ; (91-184) ; (56-160) ;
(66-155) ; (76-178) ;
(86-190) ; (94-184) ; (92-190) ; (88-170) ; (86-192) ;
(80-187) ; (50-158) ;
(52-158) ; (7-158) ; (81-167) ; (92-187) ;
(68-172) ; (45-155) ; (60-170) ; (71-188) ; (80-185) ; (76-178) ;
(70-167) ; (75-172) ; (86-190) ; (47-160) ; (66-171) ;
(90-195) ; (86-192) ;
(67-180) ; (55-160) ; (49-155)
Remarque 1 :
Les résultats sont obtenus à partir
d’un questionnaire et son présentés sous forme d’un couple de valeurs (xi,yi).
Le 1er est le poids exprimé en Kg le deuxième est la taille exprimée
en centimètre.
Remarque 2 :
Le classement est effectué en fonction
de deux variations. On obtient un tableau statistique à double entrée avec
soit :
-deux caractères qualitatifs
-deux caractères quantitatifs (c’est le cas de
l’exemple étudié)
* tous les deux discrets
* tous les deux continus
* un discret et un continu
- un caractère qualitatif et un caractère quantitatif
Présentation
des données obtenues sous forme de tableau statistique à double entrée :
-
Déterminons tout d’abord l’intervalle de variation de chacune des
variables :
*
le poids varie entre 45 et 95 Kg l’intervalle est égal à 95 – 45 = 50.
Nous allons partager cet intervalle par
5 et obtenons 5 classes de 10 Kg d’amplitude chacune.
*
la taille varie entre 195 et 155 centimètres, l’intervalle de variation est
égal à 195 – 155 = 40 centimètres, partageons cet intervalle en 8 classes dont
l’amplitude est égale à 5 colonnes.
Remarque :
Le choix du nombre de classes et des
amplitudes est généralement arbitraire.
-
Dressons un tableau à double entrée ou figurera les deux caractères, un
en ligne et l’autre en colonne.
 Poids
Tailles
|
[45-55[
|
[55-65[
|
[65-75[
|
[75-85[
|
[85-95[
|
Total
|
|
[155-160[
[160-165[
[165-170[
[170-175[
[175-180[
[180-185[
[185-190[
[190-195[
|
|
|
|
|
|
|
|
Total
|
|
|
|
|
|
|
-
Commençons par marquer tous les couples de nombre, dont le poids est
compris entre 45 et 55, vérifions la taille en excluant tous ceux qui ont une
taille non comprise entre 155 et 160 et dénombrons le reste qui doit être porté
sur le tableau à la case correspondante, on obtient la répartition
suivante :
 Poids
Tailles
|
[45-55[
|
[55-65[
|
[65-75[
|
[75-85[
|
[85-95[
|
Total
|
|
[155-160[
[160-165[
[165-170[
[170-175[
[175-180[
[180-185[
[185-190[
[190-195[
|
8
1
-
-
-
-
-
-
|
3
4
1
1
-
-
-
-
|
2
3
2
3
2
1
2
|
-
1
1
1
2
2
2
1
|
-
-
-
2
-
3
2
10
|
13
9
4
7
4
6
6
11
|
|
Total
|
9
|
9
|
15
|
10
|
17
|
60
|
Lecture des résultats
-Quel
que soit leur poids, 13 élèves ont une
taille comprise entre 155 et 160 centimètres.
-Quel
que soit leur taille 9 élèves ont un poids compris entre 45 et 55 Kg.
Remarque 1 :
La série à double entrée peut donner lieu
à deux séries statistiques simples dont l’une étudie la taille et l’autre le
poids.
|
Tailles
|
Effectifs
|
|
Poids
|
Effectifs
|
|
Reprendre les classes
|
13
9
4
7
4
6
6
11
|
|
Reprendre les classes
|
9
9
15
10
17
|
|
|
60
|
|
|
60
|
3-3- Séries statistiques à plus de deux caractères :
Exemple :
|
Population active âgée de 15 ans et plus occupée et
en chômage en milliers de personnes
|
|
Population
|
Milieu urbain
|
Milieu rural
|
Total
|
|
2003
|
2004
|
2003
|
2004
|
2003
|
2004
|
|
Population
occupée
Population
en chômage
|
4343
1041
|
4533
1021
|
5141
182
|
5289
172
|
9484
1223
|
9822
1193
|
|
Total
|
5384
|
5554
|
5323
|
5461
|
10707
|
11015
|
D’après rapport Bank AL Maghreb
Remarque :
Etant donné l’existence de 3 caractères
(Milieu, années, population), on a été amené à dresser un tableau à double
entrée avec les différentes modalités des caractères.
Cette série peut donner à 6 séries
statistiques :
|
-
la population occupée et en chômage en milieu
urbain en 2003
-
la population occupée et en chômage en milieu
urbain en 2004
-
la population occupée et en chômage en milieu
urbain en 2003
|
-
la population occupée et en chômage en milieu
rural en 2004
-
la population occupée et en chômage total en
2003
-
la population occupée et en chômage total en
2004
|
Paragraphe IV : Les représentations graphiques :
4-1-Représentation graphique dans le cas d’un caractère qualitatif
(voir paragraphe III)
4-2-Représentation graphique dans le cas d’un caractère quantitatif
(voir paragraphe III)
Remarque :
Les séries chronologiques qui retracent
l’évolution d’un phénomène dans le temps ou de deux ou de plusieurs peuvent
être représentées à l’aide d’un graphique cartésien où le temps figure sur
l’axe des abscisses et les valeurs prises par le caractère sur l’axe des y (on
peut présenter 2 ou plusieurs phénomènes) à condition que l’unité de compte
soit la même.
Exemple 1 :
représenter sur le même graphique la masse monétaire et le produit (P.I.B) en
dirhams pendant un certain nombre d’années pour constater leur évolution.
4-3- Les graphiques non
cartésiens
4-3-1- Représentation à l’aide de graphiques circulaires :
Les représentations à l’aide de
graphiques circulaires peuvent être adoptées dans le cas d’une variable,
statique continue et discontinue ou dans le cas d’un caractère qualitatif avec
un nombre de modalités assez réduit (ne dépassent pas en général 10).
Les représentations circulaires peuvent
jouer deux rôles :
-
mettre en relief les composantes d’un phénomène ;
-
comparer l’évolution d’un phénomène dans le temps ou ses composantes.
4-3-1-1- Représentation des composantes d’un phénomène
Exemple :
Soit le tableau suivant retraçant les grandes des
recettes ordinaires du Trésor en 2004 en millions de dirhams.
|
Recettes
ordinaires
|
2004
|
|
Recettes
fiscales
Recettes
non fiscales
Recettes
de certains comptes spéciaux
|
91.219
14.939
3.228
|
|
Total
|
109386
|
Rapport Bank Al-Maghreb
Remarque :
La représentation se fait à l’aide de
secteurs (portions d’un cercle) proportionnels aux valeurs du caractère, la
surface des secteurs est elle aussi proportionnelle au caractère, ce qui nous
donne dans ce cas 109386 fi 360°. Il suffit par la suite de calculer la mesure
en degrés de chaque valeur de la modalité du caractère.
Pour
91219 correspondant à x1 donc
360 x
91219
c1 = = 300,21°
109386
306 x 14939
c2 = = 49,16°
109386
360 x 3228
c3 = = 10,62°
109386
Donc les angles au centre représente
chacun 300,21° , 49,16° et 10,62°.
A l’aide d’un rapporteur on procède à
la représentation graphique.
4-3-3- Représentation
graphique à l’aide d’un diagramme triangulaire* :
Le diagramme triangulaire
permet la représentation d'une valeur composée de 3 modalités.
Exemple 1 :
On peut représenter la décomposition du PIB en 3
composantes :
- le PIB du secteur primaire
- le PIB du secteur secondaire
- le PIB du secteur tertiaire
Exemple 2 :
La décomposition prix de revient en :
- coût de matières premières
- coût de la main d’œuvre
- part des frais généraux
Exemple :
Soit le tableau ci-après constatant les
ressources ordinaires (recettes fiscales, recettes non fiscales, recettes de
certains comptes spéciaux) du Trésor au cours de l’année 2004 en millions de dirhams.
Remarque :
Avant d’entamer la représentation
graphique, il est indispensable de transformer les valeurs des modalités du
caractère en pourcentages.
|
Ressources
|
Janvier – Décembre
2004
|
Pourcentages
|
|
Recettes fiscales
Recettes non fiscales
Recettes de certains
comptes spéciaux
|
97286
15761
3557
|
83,43
13,52
3,05
|
|
Total
|
116604
|
100
|
Annuaires statistique du Maroc 2004
1
er travail à faire : calcul des
pourcentages (voir tableau)
2ème
travail à faire : traçons un triangle
équilatéral dont la hauteur : 5 cm mesure ce qui revient à choisir des
côtés égaux à :
a 3 2h 10
Si h = Þ a = Þ a = = 5,77 cm
-
On peut également tracer un triangle équilatéral d’une manière géométrique.
3ème
Travail à faire : graduons les 3
hauteurs du triangle de 0 à 100
4ème Travail à
faire : prenons sur la hauteur
AN le point des recettes fiscales et traçons une parallèle à BC passant par le
point porté sur la hauteur AN
Faisons la même chose pour la hauteur BL et CM
5ème
Travail à faire : du point
d’insertion I menant les hauteurs aux trois côtés du triangle.
Remarque 1 :
Il serait possible de procéder d’une
autre manière en portant les valeurs de la modalité du caractère non pas sur la
hauteur mais sur les côtés. De ce fait on choisit des côtés de 100 unités
mesures.
On peut tracer la base du triangle BC =
100 et à l’aide d’un compas on détermine les 2 autres côtés en reportant la
mesure de la base sur l’ouverture du compas et en traçant des portions de
cercle de chaque côté de la base.
Sur le côté AB, on porte la part des
recettes fiscales.
Sur le côté BC, on porte la part des
recettes non fiscales.
Sur le côté AC, on porte la part des
recettes de certains comptes spéciaux.
NB: les côtés doivent être gradués dans le même sens de
0 à 100.
4-3-4- Représentation
graphique à l’aide de diagrammes à barres
Les barres sont des rectangles dont les
hauteurs sont proportionnelles aux valeurs à représenter et les bases sont
choisies arbitrairement mais doivent être de mesure égale.
Les barres permettent une
représentation assez variée, on peut :
-
Utiliser une ligne de base verticale ou horizontale. Les rectangles peuvent
être juxtaposés ou séparés. Ils peuvent représenter le phénomène et ses
composantes également.
-
Représenter des valeurs positives et négatives en même temps.
-
Mettre en évidence l’évolution de plusieurs phénomènes à la fois.
Exemple 1 :
Le tableau suivant représente le taux
de scolarisation dans les différentes régions du Maroc des élèves de 15 à 17
ans en pourcentage.
|
Régions
|
Oued Ed-dehab Lagouira
|
Laayoune Boujdour Sakia El Hamra
|
Guelmim Es-mara
|
Souss Massa-Daraa
|
Gharb CHrarda Beni hssein
|
Chaouia Ourdigha
|
Marrakech-Tansift-Al Haouz
|
L’oriental
|
|
Taux
|
76,02
|
63,80
|
60,07
|
42,54
|
33,81
|
37,69
|
30,20
|
40,10
|
|
Régions
|
Grand Casa
|
Rabat-Salé Zammour-Zaer
|
Doukkala Abda
|
Tadla Azilal
|
Maknèse Tafilalt
|
Fès-Boulmane
|
Taza AlHouceima
Taounate
|
Tanger-Tetouan
|
|
Taux
|
68,86
|
66,83
|
31,36
|
36,68
|
49,39
|
51,39
|
27,58
|
33,70
|
Bulletin d’éducation et de formation n 3(janvier-février
2005)
M.E.N.E.S.F.C.R.S
Remarque :
La représentation est faite sur la base
de lignes horizontales avec des barres juxtaposées ayant une longueur
proportionnelle aux mesures du phénomène étudié.
Les barres peuvent être également séparées.
La ligne de base peut être verticale et
à ce moment c’est l’axe des x qui sera gradué de 0 à 100.
Exemple 2 :
Le tableau suivant représente le solde
de la balance commerciale en millions de dirhams.
|
Régions
|
Solde en 2004
|
|
Europe
Asie
Amérique
Afrique
Océanie et divers
|
-38431
-21124
-8494
-2061
+178
|
|
Total
|
-69 932
|
Rapport Bank Al-Maghrib 2004
Remarque :
La représentation est faite en valeurs absolues avec des
barres séparées.
Exemple 3 :
Le tableau suivant indique la
composition des prévisions de dépenses du budget général de l’Etat en millions
de dirhams en 2002, 2003 et 2004.
|
Prévisions des dépenses
|
2002
|
2003
|
2004
|
|
Dépenses de fonctionnement
Dépenses de la dette
Dépenses d’équipement
|
75442
46708
19925
|
78250
41759
19547
|
81047
41626
191868
|
|
Total
|
142075
|
13956
|
141868
|
Bank Al-Maghrib 2004
Remarque :
La représentation peut être faite en usant des valeurs
absolues figurant sur le tableau ou moyen des pourcentages.
- Représentation des
valeurs absolues :
|
Prévisions des
dépenses
|
2002
|
2003
|
2004
|
|
Valeurs
|
Valeurs
cumulées
|
Valeurs
|
Valeurs
cumulées
|
Valeurs
|
Valeurs
cumulées
|
|
Dépenses de fonctionnement
Dépenses de la dette
Dépenses d’équipement
|
75442
46708
19925
|
75442
122150
142075
|
78250
41759
19547
|
78250
120009
189556
|
81047
41626
191868
|
81047
122673
141868*
|
-
Un diagramme représentera chaque année et les hauteurs des différentes
composantes seront égales aux valeurs absolues.
On trace ensuite les diagrammes représentatifs
chacun d’une année et leur hauteur et respectivement 100 ; 98,22 et 99,85
-
Après calcul des pourcentages représentatifs de chaque composante et après
graduation des hauteurs des rectangles de 1 à 100, on place les pourcentages
cumulés.
Tableau
de calcul des pourcentages et des pourcentages cumulés :
|
Prévisions des
dépenses
|
2002
|
2003
|
2004
|
|
Pourcen-tages
|
%
cumulé
|
Pourcen-tages
|
%
cumulé
|
Pourcen-tages
|
%
cumulé
|
|
Dépenses de fonctionnement
Dépenses de la dette
Dépenses d’équipement
|
53,10
32,88
14,02
|
53,10
85,98
100
|
56,07
29,93
14
|
56,07
86
100
|
57,13
29,34
13,53
|
57,13
86,47
100
|
Le
principe est simple, mais subordonné à l’existence de deux masses égales
composées chacune de deux éléments ; exemple du bilan avec à l’actif les
informations et l’actif circulant et au passif les capitaux permanents et les
dettes.
Exemple :
Le bilan d’une entreprise se présente comme suit (tableau
ci-contre) :
|
Actif
|
Montant
|
%
|
Passif
|
Montant
|
%
|
|
Actif immobilisé
Actif circulant
|
130000
430000
|
23,21
76,79
|
Capitaux prermanents
Dettes
|
220000
340000
|
39,28
60,72
|
|
5600000
|
100
|
560000
|
100
|
Traduisons le bilan en pourcentage, on obtient :
On
le représente grâce à un carré dont on gradue la base du haut et la base du bas
de 0 à 100.
4-3-6 Représentation graphique à l’aide d’un diagramme polaire
Ce graphique est généralement utilisé
dans le cadre de représentation de séries chronologiques avec différentes
composantes : année et mois, année et trimestre, mois et jour etc…
Il s’agit de diviser un angle plein en
autant d’angles égaux qu’il y a des périodes.
Exemple :
Le
tableau suivant représente l’évolution de la monnaie fiduciaire mois par mois
en 2003 et 2004 en millions de dirhams.
|
Mois Années
|
Jan.
|
Fév.
|
Mars
|
Avril
|
Mai
|
Juin
|
Juillet
|
Août
|
Sept.
|
Oct.
|
Nov.
|
Déc.
|
|
2003
|
70172
|
70885
|
70264
|
70392
|
70246
|
70937
|
74970
|
76671
|
74587
|
74525
|
74998
|
74890
|
|
2004
|
79620
|
76578
|
75429
|
76141
|
75091
|
75829
|
80114
|
81448
|
79420
|
79470
|
78959
|
79439
|
Rapport Bank Al-Maghrib 2004
Remarque :
Il est possible de représenter les
valeurs absolues ou de transformer les valeurs absolues en indices. (cours de
la 2ème année du Bac).
Nous procédons ici à une représentation
moyennant les valeurs en partageant l’angle plein en 12 c’est-à-dire en angles
égaux de 30° chacun.
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